名古屋大学 2014年 文系 第3問 解説

方針・初手

(1) は2点を通る直線の方程式を公式に従って求めます。

(2) は(1)で求めた直線 $l$ の式に $x=a$ を代入し、$t$ の2次関数の最大値を求める問題です。定義域に対する軸の位置による場合分けを行います。

(3) は線分 $PQ$ の通過領域とその面積を求める問題です。(2)の考え方を拡張し、$x$ を固定したときの $y$ のとりうる値の最大値と最小値を求める「ファクシミリ論法（順像法）」を用います。直線ではなく「線分」であることから、$x$ と $t$ の間に制約が生まれる点に注意して $t$ の定義域を正確に把握します。

解法1

(1)

点 $P(t, t^2)$, $Q(t+1, (t+1)^2)$ を通る直線 $l$ の傾きは

$$ \frac{(t+1)^2 - t^2}{(t+1) - t} = 2t+1 $$

よって、直線 $l$ の方程式は

$$ y - t^2 = (2t+1)(x - t) $$

整理して、

$$ y = (2t+1)x - t^2 - t $$

(2)

直線 $l$ の方程式に $x=a$ を代入して $f(t)$ とおくと

$$ f(t) = (2t+1)a - t^2 - t = -t^2 + (2a-1)t + a $$

これを平方完成すると、

$$ f(t) = -\left( t - \frac{2a-1}{2} \right)^2 + \frac{(2a-1)^2}{4} + a = -\left( t - a + \frac{1}{2} \right)^2 + a^2 + \frac{1}{4} $$

$y=f(t)$ は上に凸の放物線であり、軸は $t = a - \frac{1}{2}$ である。

$t$ の定義域 $-1 \leqq t \leqq 0$ に対する軸の位置によって場合分けを行う。

(i) $0 \leqq a - \frac{1}{2}$ すなわち $\frac{1}{2} \leqq a$ のとき

軸は定義域の右側にあるので、$f(t)$ は $-1 \leqq t \leqq 0$ において単調増加する。

したがって、最大値は $t=0$ のときで、

$$ f(0) = a $$

(ii) $-1 \leqq a - \frac{1}{2} < 0$ すなわち $-\frac{1}{2} \leqq a < \frac{1}{2}$ のとき

軸は定義域内にあるので、頂点で最大となる。

したがって、最大値は $t = a - \frac{1}{2}$ のときで、

$$ f\left( a - \frac{1}{2} \right) = a^2 + \frac{1}{4} $$

(iii) $a - \frac{1}{2} < -1$ すなわち $a < -\frac{1}{2}$ のとき

軸は定義域の左側にあるので、$f(t)$ は $-1 \leqq t \leqq 0$ において単調減少する。

したがって、最大値は $t=-1$ のときで、

$$ f(-1) = -(-1)^2 + (2a-1)(-1) + a = -a $$

(3)

点 $(x, y)$ が線分 $PQ$ の通過領域に属する条件は、$-1 \leqq t \leqq 0$ を満たすある実数 $t$ に対して、点 $(x, y)$ が線分 $PQ$ 上にあることである。

線分 $PQ$ 上の点の $x$ 座標は $t \leqq x \leqq t+1$ を満たす。

したがって、求める通過領域は、

$$ \begin{cases} y = -t^2 + (2x-1)t + x \\ -1 \leqq t \leqq 0 \\ t \leqq x \leqq t+1 \end{cases} $$

を満たす実数 $t$ が存在するような点 $(x, y)$ の集合である。

$t$ に関する不等式を整理すると、$-1 \leqq t \leqq 0$ かつ $x-1 \leqq t \leqq x$ となる。

このような $t$ が存在するための $x$ の条件は、

$$ x-1 \leqq 0 \quad \text{かつ} \quad -1 \leqq x \iff -1 \leqq x \leqq 1 $$

この $x$ の範囲において $x$ を固定し、$y$ のとりうる値の最大値 $M(x)$ と最小値 $m(x)$ を求める。

$t$ のとりうる範囲を $D_x$ とすると、

$-1 \leqq x \leqq 0$ のとき、$D_x$ は $-1 \leqq t \leqq x$

$0 < x \leqq 1$ のとき、$D_x$ は $x-1 \leqq t \leqq 0$

関数 $g(t) = -t^2 + (2x-1)t + x$ は、平方完成すると

$$ g(t) = -\left( t - x + \frac{1}{2} \right)^2 + x^2 + \frac{1}{4} $$

であり、軸は $t = x - \frac{1}{2}$ である。

(ア) $-1 \leqq x \leqq 0$ のとき

定義域は $-1 \leqq t \leqq x$ である。

軸 $t = x - \frac{1}{2}$ と右端 $t=x$ について、$x - \frac{1}{2} < x$ より軸は常に右端より左にある。

軸と左端 $t=-1$ との大小関係で場合分けする。

(ア-1) $x - \frac{1}{2} < -1$ すなわち $-1 \leqq x < -\frac{1}{2}$ のとき

軸は定義域の左側にあり、$g(t)$ は単調減少する。

最大値 $M(x) = g(-1) = -x$

最小値 $m(x) = g(x) = -(x)^2 + (2x-1)x + x = x^2$

(ア-2) $-1 \leqq x - \frac{1}{2}$ すなわち $-\frac{1}{2} \leqq x \leqq 0$ のとき

軸は定義域内に含まれる。

最大値 $M(x) = g\left(x - \frac{1}{2}\right) = x^2 + \frac{1}{4}$

最小値については、軸 $t = x - \frac{1}{2}$ と区間の両端 $-1, x$ との距離を比較する。

軸から左端までの距離は $\left(x - \frac{1}{2}\right) - (-1) = x + \frac{1}{2}$

軸から右端までの距離は $x - \left(x - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2} \leqq x \leqq 0$ より $x + \frac{1}{2} \leqq \frac{1}{2}$ であるため、右端 $t=x$ の方が軸から遠いか等距離である。

よって最小値は $m(x) = g(x) = x^2$

(イ) $0 < x \leqq 1$ のとき

定義域は $x-1 \leqq t \leqq 0$ である。

軸 $t = x - \frac{1}{2}$ と左端 $t=x-1$ について、$x-1 < x - \frac{1}{2}$ より軸は常に左端より右にある。

軸と右端 $t=0$ との大小関係で場合分けする。

(イ-1) $x - \frac{1}{2} \leqq 0$ すなわち $0 < x \leqq \frac{1}{2}$ のとき

軸は定義域内に含まれる。

最大値 $M(x) = g\left(x - \frac{1}{2}\right) = x^2 + \frac{1}{4}$

最小値については、軸から左端までの距離 $\frac{1}{2}$ と、右端までの距離 $\frac{1}{2} - x$ を比較する。

$0 < x \leqq \frac{1}{2}$ より $\frac{1}{2} - x < \frac{1}{2}$ であるため、左端 $t=x-1$ の方が軸から遠い。

よって最小値は $m(x) = g(x-1) = -(x-1)^2 + (2x-1)(x-1) + x = x^2$

(イ-2) $0 < x - \frac{1}{2}$ すなわち $\frac{1}{2} < x \leqq 1$ のとき

軸は定義域の右側にあり、$g(t)$ は単調増加する。

最大値 $M(x) = g(0) = x$

最小値 $m(x) = g(x-1) = x^2$

以上より、通過領域は $-1 \leqq x \leqq 1$ において、下端が常に $y=x^2$ であり、上端は

$-1 \leqq x < -\frac{1}{2}$ のとき $y=-x$

$-\frac{1}{2} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$ のとき $y=x^2+\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2} < x \leqq 1$ のとき $y=x$

となる領域である（境界線を含む）。

この図形は $y$ 軸に関して対称であるため、求める面積 $S$ は $0 \leqq x \leqq 1$ の部分の面積の $2$ 倍となる。

$$ S = 2 \left\{ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( x^2 + \frac{1}{4} - x^2 \right) dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1} ( x - x^2 ) dx \right\} $$

$$ = 2 \left\{ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} dx + \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{\frac{1}{2}}^{1} \right\} $$

$$ = 2 \left\{ \left[ \frac{1}{4}x \right]_{0}^{\frac{1}{2}} + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{24} \right) \right\} $$

$$ = 2 \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12} \right) $$

$$ = 2 \cdot \frac{3+4-2}{24} = \frac{5}{12} $$

解説

直線の通過領域を求める標準的な問題の応用です。通過領域の解法には主に「逆像法（実数解条件に帰着）」と「順像法（ファクシミリ論法）」がありますが、本問は (2) で特定の $x$ における $y$ の最大値を $t$ の関数として求めていることから、ファクシミリ論法の誘導となっています。

(3) においては直線ではなく「線分」の通過領域であるため、$x$ の値によって媒介変数 $t$ のとりうる範囲が変化する点に注意が必要です。場合分けが多くなりますが、グラフの対称性を利用することで計算量を抑えることができます。

答え

(1)

$y = (2t+1)x - t^2 - t$

(2)

$a < -\frac{1}{2}$ のとき $-a$

$-\frac{1}{2} \leqq a < \frac{1}{2}$ のとき $a^2 + \frac{1}{4}$

$a \geqq \frac{1}{2}$ のとき $a$

(3)

図示する図形は、$-1 \leqq x \leqq 1$ において、 下側の境界が $y=x^2$ 上側の境界が $y=-x \quad \left(-1 \leqq x < -\frac{1}{2}\right)$ $y=x^2+\frac{1}{4} \quad \left(-\frac{1}{2} \leqq x \leqq \frac{1}{2}\right)$ $y=x \quad \left(\frac{1}{2} < x \leqq 1\right)$ で囲まれた領域（境界線を含む）。 面積は $\frac{5}{12}$