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東北大学 2005年理系第5問解説

方針・初手

まず (1) で定数解 $C$ を求める。すると $B_n=A_n-C$ とおけば，漸化式は右辺が $0$ の形に落ちる。

ここで

$$ J=\begin{pmatrix} 0&1\ 1&0 \end{pmatrix} \quad (J^2=I) $$

とおくと，係数行列はどちらも $J$ の定数倍であるから，$B_n$ は 2 項ごとに等比的に変化する。この構造を使えば $A_n$ を明示でき，極限条件も直ちに分かる。

解法1

(1) まず

$$ C=\begin{pmatrix} x&y\ z&w \end{pmatrix} $$

とおく。すると

$$ C\begin{pmatrix} 0&a\ a&0 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} ay&ax\ aw&az \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0&b\ b&0 \end{pmatrix}C ============== \begin{pmatrix} bz&bw\ bx&by \end{pmatrix} $$

であるから，

$$ C\begin{pmatrix} 0&a\ a&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0&b\ b&0 \end{pmatrix}C ============== \begin{pmatrix} ay+bz&ax+bw\ aw+bx&az+by \end{pmatrix}. $$

これが

$$ \begin{pmatrix} 1&0\ 0&-1 \end{pmatrix} $$

に等しいので，

$$ \begin{cases} ay+bz=1,\ ax+bw=0,\ aw+bx=0,\ az+by=-1 \end{cases} $$

を得る。

第2式，第3式より

$$ \begin{pmatrix} a&b\ b&a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\ w \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} 0\ 0 \end{pmatrix}. $$

ここで

$$ \det \begin{pmatrix} a&b\ b&a \end{pmatrix} =a^2-b^2\neq 0 $$

であるから，

$$ x=w=0 $$

である。

同様に

$$ \begin{pmatrix} a&b\ b&a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y\ z \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} 1\ -1 \end{pmatrix} $$

より，

$$ y=\frac{1}{a-b},\qquad z=-\frac{1}{a-b}. $$

したがって求める $C$ は

$$ C=\begin{pmatrix} 0&\dfrac{1}{a-b}[1mm] -\dfrac{1}{a-b}&0 \end{pmatrix} $$

である。

(2)

$$ J=\begin{pmatrix} 0&1\ 1&0 \end{pmatrix} $$

とおくと，

$$ \begin{pmatrix} 0&a\ a&0 \end{pmatrix}=aJ,\qquad \begin{pmatrix} 0&b\ b&0 \end{pmatrix}=bJ $$

である。

ここで

$$ B_n=A_n-C $$

とおくと，$C$ は (1) の解であるから，

$$ aB_{n+1}J+bJB_n=O $$

を満たす。右から $J$ を掛けると $J^2=I$ より

$$ B_{n+1}=-\frac{b}{a}JB_nJ $$

となる。さらにもう一度同じ操作をすると，

$$ B_{n+2} =-\frac{b}{a}JB_{n+1}J =\frac{b^2}{a^2}B_n $$

を得る。したがって奇数番目と偶数番目はそれぞれ等比数列である。

まず初項を求めると，

$$ A_1=\begin{pmatrix} 0&a^{-1}\ 0&0 \end{pmatrix} $$

より

$$ B_1=A_1-C ========= \begin{pmatrix} 0&\dfrac1a-\dfrac1{a-b}[1mm] \dfrac1{a-b}&0 \end{pmatrix} ============= \frac1{a-b} \begin{pmatrix} 0&-\dfrac ba[1mm] 1&0 \end{pmatrix}. $$

また

$$ JB_1J ===== \frac1{a-b} \begin{pmatrix} 0&1[1mm] -\dfrac ba&0 \end{pmatrix}. $$

よって $m=1,2,3,\dots$ に対して

$$ B_{2m-1} =\left(\frac{b^2}{a^2}\right)^{m-1}B_1 ====================================== \frac1{a-b} \begin{pmatrix} 0&-\left(\dfrac ba\right)^{2m-1}[1mm] \left(\dfrac ba\right)^{2m-2}&0 \end{pmatrix}, $$

$$ B_{2m} =-\frac ba\left(\frac{b^2}{a^2}\right)^{m-1}JB_1J ================================================= \frac1{a-b} \begin{pmatrix} 0&-\left(\dfrac ba\right)^{2m-1}[1mm] \left(\dfrac ba\right)^{2m}&0 \end{pmatrix}. $$

これに $A_n=C+B_n$ を戻せば，

$$ A_{2m-1} ======== \frac1{a-b} \begin{pmatrix} 0&1-\left(\dfrac ba\right)^{2m-1}[1mm] \left(\dfrac ba\right)^{2m-2}-1&0 \end{pmatrix}, $$

$$ A_{2m} ====== \frac1{a-b} \begin{pmatrix} 0&1-\left(\dfrac ba\right)^{2m-1}[1mm] \left(\dfrac ba\right)^{2m}-1&0 \end{pmatrix} $$

となる。

(3) 上の式より，$A_n$ の成分のうち対角成分は常に $0$ である。したがって収束の問題は

$$ \left(\frac ba\right)^{2m-1},\qquad \left(\frac ba\right)^{2m} $$

の収束に帰着する。

仮定より $a^2\neq b^2$ であるから $\left|\dfrac ba\right|=1$ は起こらない。したがって

$\left|\dfrac ba\right|<1$ のときは $\left(\dfrac ba\right)^n\to 0$ であり，$A_n$ の各成分は収束する。
$\left|\dfrac ba\right|>1$ のときは $\left(\dfrac ba\right)^n$ の絶対値が発散し，$A_n$ の非対角成分は収束しない。

ゆえに必要十分条件は

$$ \left|\frac ba\right|<1 $$

すなわち

$$ |b|<|a| $$

である。

なおこのとき

$$ \lim_{n\to\infty}A_n ==================== \begin{pmatrix} 0&\dfrac1{a-b}[1mm] -\dfrac1{a-b}&0 \end{pmatrix} =C $$

となる。