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九州大学 2004年理系第1問解説

方針・初手

(1) は定義に従って $I_0$ を計算し、$I_n$ については部分積分法を用いて漸化式を導出する。
(2) は問題文の誘導に従って $e^x \leqq e^2$ を用いて積分を評価し、さらに階乗部分の評価を行う。
(3) は (1) で求めた漸化式から和 $\sum$ を $I_n$ と $I_0$ で表し、(2) の不等式からはさみうちの原理を用いて $I_n$ の極限を求める。

解法1

(1)

定義より、$n=0$ のとき、

$$ I_0 = \frac{(-1)^0}{0!} \int_0^2 x^0 e^x dx = \int_0^2 e^x dx = \left[ e^x \right]_0^2 = e^2 - 1 $$

$n \geqq 1$ のとき、部分積分法を用いると、

$$ \begin{aligned} I_n &= \frac{(-1)^n}{n!} \int_0^2 x^n e^x dx \\ &= \frac{(-1)^n}{n!} \left( \left[ x^n e^x \right]_0^2 - \int_0^2 n x^{n-1} e^x dx \right) \\ &= \frac{(-1)^n}{n!} \left( 2^n e^2 - n \int_0^2 x^{n-1} e^x dx \right) \\ &= \frac{(-1)^n 2^n e^2}{n!} - \frac{(-1)^n n}{n!} \int_0^2 x^{n-1} e^x dx \\ &= \frac{(-1)^n 2^n e^2}{n!} + \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} \int_0^2 x^{n-1} e^x dx \\ &= \frac{(-1)^n 2^n e^2}{n!} + I_{n-1} \end{aligned} $$

よって、$I_n$ と $I_{n-1}$ の関係式は、

$$ I_n - I_{n-1} = \frac{(-1)^n 2^n e^2}{n!} $$

これを用いて $I_3$ を求める。

$$ \begin{aligned} I_1 - I_0 &= \frac{-2e^2}{1!} = -2e^2 \\ I_2 - I_1 &= \frac{4e^2}{2!} = 2e^2 \\ I_3 - I_2 &= \frac{-8e^2}{3!} = -\frac{4}{3}e^2 \end{aligned} $$

これらを辺々加えると、

$$ I_3 - I_0 = -2e^2 + 2e^2 - \frac{4}{3}e^2 = -\frac{4}{3}e^2 $$

$I_0 = e^2 - 1$ であるから、

$$ I_3 = \left( e^2 - 1 \right) - \frac{4}{3}e^2 = -\frac{1}{3}e^2 - 1 $$

(2)

$0 \leqq x \leqq 2$ において $e^x \leqq e^2$ であり、$x^n \geqq 0$ であるから、

$$ x^n e^x \leqq x^n e^2 $$

両辺を $0$ から $2$ まで積分して、

$$ \int_0^2 x^n e^x dx \leqq \int_0^2 x^n e^2 dx = e^2 \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^2 = e^2 \frac{2^{n+1}}{n+1} $$

両辺を $n!$ で割ると、

$$ \frac{1}{n!} \int_0^2 x^n e^x dx \leqq e^2 \frac{2^{n+1}}{n!(n+1)} = 2e^2 \frac{2^n}{(n+1)!} $$

ここで、$n \geqq 1$ に対して、

$$ \frac{2^n}{(n+1)!} = \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdots \frac{2}{n+1} $$

各項を評価すると、$k \geqq 2$ のとき $\frac{2}{k+1} \leqq \frac{2}{3}$ であるから、

$$ \frac{2^n}{(n+1)!} \leqq 1 \cdot \underbrace{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdots \frac{2}{3}}_{n-1 \text{ 個}} = \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} $$

この不等式は $n=1$ のときも $\frac{2^1}{2!} = 1$、$\left( \frac{2}{3} \right)^0 = 1$ となり成り立つ。したがって、

$$ \frac{1}{n!} \int_0^2 x^n e^x dx \leqq 2e^2 \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} \quad (n = 1, 2, \cdots) $$

が示された。

(3)

(1) で求めた漸化式 $I_k - I_{k-1} = \frac{(-1)^k 2^k e^2}{k!}$ より、

$$ \frac{(-1)^k 2^k}{k!} = \frac{I_k - I_{k-1}}{e^2} \quad (k \geqq 1) $$

よって、求める和は次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k 2^k}{k!} &= 1 + \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k 2^k}{k!} \\ &= 1 + \sum_{k=1}^n \frac{I_k - I_{k-1}}{e^2} \\ &= 1 + \frac{1}{e^2} (I_n - I_0) \end{aligned} $$

ここで、(2) の結果を利用して $\lim_{n \to \infty} I_n$ を求める。定義より $I_n = \frac{(-1)^n}{n!} \int_0^2 x^n e^x dx$ であり、被積分関数は常に正であるから、

$$ |I_n| = \left| \frac{(-1)^n}{n!} \right| \int_0^2 x^n e^x dx = \frac{1}{n!} \int_0^2 x^n e^x dx $$

(2) より、

$$ 0 \leqq |I_n| \leqq 2e^2 \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} $$

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} = 0$ であるから、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n \to \infty} |I_n| = 0 $$

すなわち $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$ である。したがって、求める極限は、

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k 2^k}{k!} &= \lim_{n \to \infty} \left\{ 1 + \frac{1}{e^2} (I_n - I_0) \right\} \\ &= 1 + \frac{1}{e^2} (0 - I_0) \\ &= 1 - \frac{e^2 - 1}{e^2} \\ &= \frac{1}{e^2} \end{aligned} $$

解説

定積分で定義された数列の極限に関する典型的な問題である。 (1) の部分積分による漸化式の作成は、微積分を扱う上で必須の技術である。 (2) は不等式の証明だが、被積分関数の一部を最大値に置き換えて積分を計算し、残った階乗部分を指数関数的に評価するという流れを押さえておきたい。 (3) は漸化式の和を階差の形から直接消去して $I_n$ に帰着させ、(2) の不等式評価とはさみうちの原理を組み合わせて極限を求める、非常に美しい構成となっている。なお、大学数学で学ぶテイラー展開の知識があれば、与えられた級数が $e^{-2}$ に収束することが容易に予測できる。