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九州大学 2004年理系第3問解説

方針・初手

(1) は原点を通る条件 $x(t)=0$ かつ $y(t)=0$ を満たす時刻 $t$ を求め、速度ベクトル $\vec{v}(t) = (x'(t), y'(t))$ に代入する基本問題である。
(2) 以降は、パラメータ $t$ を消去して $x, y$ の直接の関係式（軌跡の方程式）を導出すると、対称性の証明、増減の調査、面積の積分計算の見通しが非常に良くなる。

解法1

(1)

点 $P$ が原点を通るとき、$x(t) = 0$ かつ $y(t) = 0$ である。 $x(t) = 0$ より、

$$ \cos\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 0 $$

$0 \leqq t < 2\pi$ より $\frac{\pi}{4} \leqq t + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$ であるから、

$$ t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} $$

これを解いて、

$$ t = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} $$

このとき、$y(t)$ の値を確認すると、

$$ \begin{aligned} y\left(\frac{\pi}{4}\right) &= \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{2} = 0 \\ y\left(\frac{5\pi}{4}\right) &= \cos\left(2 \cdot \frac{5\pi}{4}\right) = \cos\frac{5\pi}{2} = 0 \end{aligned} $$

となり、いずれも $y(t) = 0$ を満たす。よって、原点を通る時刻は $t = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ である。一方、点 $P$ の速度ベクトル $\vec{v}(t)$ は、$\vec{v}(t) = (x'(t), y'(t))$ で与えられる。

$$ \begin{cases} x'(t) = -\sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) \\ y'(t) = -2\sin(2t) \end{cases} $$

$t = \frac{\pi}{4}$ のとき、

$$ \vec{v}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(-\sin\frac{\pi}{2}, -2\sin\frac{\pi}{2}\right) = (-1, -2) $$

$t = \frac{5\pi}{4}$ のとき、

$$ \vec{v}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \left(-\sin\frac{3\pi}{2}, -2\sin\frac{5\pi}{2}\right) = (1, -2) $$

(2)

軌跡 $C$ の $x, y$ の関係式を求める。 $x = \cos\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\cos t - \sin t)$ の両辺を2乗すると、

$$ x^2 = \frac{1}{2}(\cos^2 t - 2\sin t\cos t + \sin^2 t) = \frac{1}{2}(1 - \sin 2t) $$

ゆえに、$\sin 2t = 1 - 2x^2$ となる。ここで、$y = \cos 2t$ と $\sin^2 2t + \cos^2 2t = 1$ を用いると、

$$ (1 - 2x^2)^2 + y^2 = 1 $$

これを $y^2$ について整理すると、

$$ \begin{aligned} y^2 &= 1 - (1 - 4x^2 + 4x^4) \\ &= 4x^2 - 4x^4 \\ &= 4x^2(1 - x^2) \end{aligned} $$

$t$ が $0 \leqq t < 2\pi$ を動くとき、$x = \cos(t+\pi/4)$ の取り得る値の範囲は $-1 \leqq x \leqq 1$ である。この範囲において $1 - x^2 \geqq 0$ であるため、$y$ は実数として存在し、$\cos 2t$ の符号変化により $\pm$ 両方の値を取り得る。したがって、曲線 $C$ の方程式は以下のように表される。

$$ y^2 = 4x^2(1 - x^2) \quad (-1 \leqq x \leqq 1) $$

この方程式において、$x$ を $-x$ に置き換えても、

$$ y^2 = 4(-x)^2(1 - (-x)^2) = 4x^2(1 - x^2) $$

となり方程式は変わらないため、$C$ は $y$ 軸に関して対称である。また、$y$ を $-y$ に置き換えても、

$$ (-y)^2 = 4x^2(1 - x^2) \iff y^2 = 4x^2(1 - x^2) $$

となり方程式は変わらないため、$C$ は $x$ 軸に関して対称である。以上より、$C$ は $x$ 軸および $y$ 軸に関して対称である。

(3)

(2) より、$C$ は $x$ 軸および $y$ 軸対称であるから、$x \geqq 0, y \geqq 0$ の部分（第1象限および軸上）について調べる。方程式 $y^2 = 4x^2(1-x^2)$ より、$y \geqq 0$ では

$$ y = 2x\sqrt{1-x^2} \quad (0 \leqq x \leqq 1) $$

これを $x$ で微分する。

$$ \begin{aligned} y' &= 2\sqrt{1-x^2} + 2x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} \\ &= 2\sqrt{1-x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}} \\ &= \frac{2(1-x^2) - 2x^2}{\sqrt{1-x^2}} \\ &= \frac{2(1-2x^2)}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned} $$

$0 < x < 1$ において $y' = 0$ とすると、$1-2x^2 = 0$ より $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。増減表は以下のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\cdots$	$1$
$y'$		$+$	$0$	$-$
$y$	$0$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$0$

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、

$$ y = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 $$

また、$x=0$ における接線の傾きは $\lim_{x \to +0} y' = 2$ であり、$x \to 1-0$ のとき $y' \to -\infty$ （接線が $y$ 軸に平行になる）である。したがって、第1象限における $C$ は原点から傾き $2$ で出発し、点 $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right)$ で極大となり、点 $(1,0)$ に垂直に交わる曲線である。対称性を用いてこれを全象限に広げると、$C$ の概形は、原点で自ら交差し、4点 $\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}, \pm 1\right)$ を通る「8の字型」の曲線となる。

(4)

対称性より、求める面積 $S$ は第1象限の部分の面積の4倍である。

$$ S = 4 \int_{0}^{1} y \, dx = 4 \int_{0}^{1} 2x\sqrt{1-x^2} \, dx $$

ここで、$1 - x^2 = u$ とおくと、$-2x \, dx = du$ より $2x \, dx = -du$ となる。 $x$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$u$ は $1$ から $0$ まで変化する。

$$ \begin{aligned} S &= 4 \int_{1}^{0} \sqrt{u} (-du) \\ &= 4 \int_{0}^{1} u^{\frac{1}{2}} \, du \\ &= 4 \left[ \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} \\ &= 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \end{aligned} $$

解法2

(2) の別解：パラメータのまま対称性を示す方法

$y$ 軸対称性の証明：パラメータ $t$ に対して、$t' = t + \pi$ となる $t'$ を考える。

$$ \begin{aligned} x(t') &= \cos\left(t + \pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = -x(t) \\ y(t') &= \cos(2(t + \pi)) = \cos(2t + 2\pi) = \cos 2t = y(t) \end{aligned} $$

$t$ が $0 \leqq t < 2\pi$ を動くとき、$t'$ も（周期 $2\pi$ の性質を考慮すれば）軌跡上の点を全て網羅する。点 $P(x(t), y(t))$ に対して、点 $(-x(t), y(t))$ も $C$ 上の点として存在するため、$C$ は $y$ 軸に関して対称である。

$x$ 軸対称性の証明：パラメータ $t$ に対して、$t'' = -t + \frac{3\pi}{2}$ となる $t''$ を考える。

$$ \begin{aligned} x(t'') &= \cos\left(-t + \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-t + \frac{7\pi}{4}\right) = \cos\left(t - \frac{7\pi}{4}\right) \\ &= \cos\left(t + \frac{\pi}{4} - 2\pi\right) = \cos\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = x(t) \\ y(t'') &= \cos\left(2\left(-t + \frac{3\pi}{2}\right)\right) = \cos(-2t + 3\pi) = -\cos(-2t) = -\cos 2t = -y(t) \end{aligned} $$

点 $P(x(t), y(t))$ に対して、点 $(x(t), -y(t))$ も $C$ 上の点として存在するため、$C$ は $x$ 軸に関して対称である。

解説

リサージュ図形と呼ばれる典型的なパラメータ曲線の問題である。そのままパラメータ $t$ で積分計算をすることも可能だが、$\cos 2t$ と $\cos(t+\pi/4)$ の関係を利用して $t$ を消去し、$x$ と $y$ の代数方程式 $y^2 = 4x^2(1-x^2)$ を導くアプローチが圧倒的に計算を楽にする。この式が得られれば、偶関数の性質から一瞬で対称性が示せ、図形の面積も置換積分により容易に求まる。三角関数の倍角の公式などの基礎的な変形力を問う良問である。