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九州大学 2015年理系第5問解説

方針・初手

(1)は $n=2k$ とおいて因数分解するか、合同式を用いて $3$ の倍数であることを示す。
(2)はユークリッドの互除法の原理（最大公約数は差の約数であること）を利用する。
(3)は(1)の誘導を利用するために $p$ が奇素数であることを示し、$pq^2$ が $3$ の倍数であることから $p, q$ のいずれかが $3$ であると絞り込む。さらに(2)の「互いに素」の条件を利用して因数のペアを決定する。

解法1

(1)

$n$ は正の偶数であるから、$k$ を自然数として $n = 2k$ とおける。このとき、

$$ 2^n - 1 = 2^{2k} - 1 = 4^k - 1 $$

となる。法 $3$ の合同式を考えると、$4 \equiv 1 \pmod 3$ であるから、

$$ 4^k - 1 \equiv 1^k - 1 \equiv 0 \pmod 3 $$

となる。よって、$2^n - 1$ は $3$ の倍数である。

(2)

$2^n + 1$ と $2^n - 1$ の最大公約数を $g$ （$g$ は自然数）とおく。 $g$ は $2^n + 1$ と $2^n - 1$ の両方を割り切るので、ある自然数 $a, b$ を用いて、

$$ 2^n + 1 = ga $$

$$ 2^n - 1 = gb $$

と表せる。上の式から下の式を引くと、

$$ 2 = g(a - b) $$

となる。$a - b$ は整数であるから、$g$ は $2$ の正の約数、すなわち $g = 1$ または $g = 2$ である。ここで、$n$ は自然数（$n \ge 1$）であるから $2^n$ は偶数であり、$2^n + 1$ と $2^n - 1$ はともに奇数である。したがって、公約数 $g$ は $2$ で割り切れないため、$g \neq 2$ であり、$g = 1$ となる。最大公約数が $1$ であるから、$2^n + 1$ と $2^n - 1$ は互いに素である。

(3)

与えられた等式を以下とする。

$$ 2^{p-1} - 1 = pq^2 \quad \cdots (*) $$

まず、$p=2$ とすると、$(*)$ より $2^1 - 1 = 2q^2$ すなわち $1 = 2q^2$ となるが、これを満たす素数 $q$ は存在しない。よって $p \neq 2$ であり、$p$ は奇素数である。したがって、$p-1$ は正の偶数となる。

(1)より、$p-1$ が正の偶数であるとき、$2^{p-1} - 1$ は $3$ の倍数である。ゆえに、$(*)$ の右辺 $pq^2$ も $3$ の倍数となる。 $p, q$ は素数であるから、$p = 3$ または $q = 3$ である。

(i) $p = 3$ のとき

$(*)$ に代入すると、

$$ 2^{3-1} - 1 = 3q^2 $$

$$ 3 = 3q^2 $$

$$ q^2 = 1 $$

$q$ は正より $q=1$ となるが、$1$ は素数ではないため不適である。

(ii) $q = 3$ のとき

$(*)$ に代入すると、

$$ 2^{p-1} - 1 = 9p $$

となる。$p$ は奇素数より、$k$ を自然数として $p-1 = 2k$ とおける。これを代入すると、

$$ 2^{2k} - 1 = 9p $$

$$ (2^k - 1)(2^k + 1) = 9p $$

となる。ここで、(2)より $2^k - 1$ と $2^k + 1$ は互いに素である。また、$k \ge 1$ より $2^k - 1 < 2^k + 1$ であり、それらの積が $9p$ となる。 $2^k - 1$ と $2^k + 1$ は互いに素であるから、公約数 $3$ をもつことはなく、$9$ はどちらか一方のみを割り切る。大小関係を考慮すると、$(2^k - 1, 2^k + 1)$ の組は以下のいずれかである。

(ア)

$$ \begin{cases} 2^k - 1 = 1 \\ 2^k + 1 = 9p \end{cases} $$

(イ)

$$ \begin{cases} 2^k - 1 = 9 \\ 2^k + 1 = p \end{cases} $$

(ウ)

$$ \begin{cases} 2^k - 1 = p \\ 2^k + 1 = 9 \end{cases} $$

(ア) の場合 $2^k - 1 = 1$ より $2^k = 2$ となり $k = 1$ である。このとき $2^1 + 1 = 3$ となり、$9p = 3$ を満たす素数 $p$ は存在せず不適である。

(イ) の場合 $2^k - 1 = 9$ より $2^k = 10$ となるが、これを満たす自然数 $k$ は存在せず不適である。

(ウ) の場合 $2^k + 1 = 9$ より $2^k = 8$ となり $k = 3$ である。このとき $2^3 - 1 = 7$ より、$p = 7$ となる。 $p=7$ は素数であり、奇素数であるという条件も満たす。（$k=3$ のとき $p = 2 \times 3 + 1 = 7$ となり矛盾しない。）

以上より、条件を満たす $p, q$ の組は $(7, 3)$ のみである。

解法2

(1の別解)

$n$ は正の偶数であるから、$k$ を自然数として $n = 2k$ とおける。

$$ 2^n - 1 = 2^{2k} - 1 = (2^2)^k - 1 = 4^k - 1 $$

ここで、$x^k - y^k = (x-y)(x^{k-1} + x^{k-2}y + \cdots + y^{k-1})$ の因数分解公式を用いると、

$$ 4^k - 1 = (4 - 1)(4^{k-1} + 4^{k-2} + \cdots + 1) = 3(4^{k-1} + 4^{k-2} + \cdots + 1) $$

となる。$4^{k-1} + 4^{k-2} + \cdots + 1$ は整数であるから、$2^n - 1$ は $3$ の倍数である。

解説

整数問題における誘導付きの典型問題である。 (1)では $n$ が偶数のときに $3$ の倍数になることを示す。これは(3)で指数部分が偶数になることを導き、法 $3$ に持ち込むための強力なヒントとなっている。 (2)の「差が $2$ である奇数同士の最大公約数が $1$ であること」は頻出の論点である。互除法の原理を用いて簡潔に示すことができる。 (3)では、まず $p=2$ を弾いて $p$ が奇素数であることから $p-1$ が偶数であることを見抜く。そして(1)の結論から素数 $p, q$ のいずれかが $3$ であると絞り込む。その後は(2)の互いに素であるという性質を用いて、積の形から各因数の値を決定していく。それぞれの小問が次のステップの布石として機能している整然とした構成である。