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九州大学 2015年理系第4問解説

方針・初手

袋の中の玉の総数は常に3個であるため、「袋の中の赤玉の個数」によって状態を分類し、それぞれの状態間の遷移確率を整理する。また、1回の操作で赤玉の個数は必ず1増減することに着目し、操作回数と赤玉の個数の偶奇性（パリティ）を利用して見通しを立てる。

解法1

袋の中の赤玉の個数が $k$ 個（$k=0, 1, 2, 3$）である状態を $S_k$ と表す。玉の総数は常に3個なので、このとき青玉は $3-k$ 個である。条件より、硬貨をもらうのは状態が $S_0$ になったときである。

初期状態（0回目の操作前）は赤玉2個、青玉1個であるから、状態は $S_2$ である。各状態から1回の操作によって別の状態へ遷移する確率は以下のようになる。

$S_3$ から：必ず赤玉を取り出すため、確率 $1$ で $S_2$ に遷移する。
$S_2$ から：確率 $\frac{2}{3}$ で赤玉を取り出して $S_1$ に遷移し、確率 $\frac{1}{3}$ で青玉を取り出して $S_3$ に遷移する。
$S_1$ から：確率 $\frac{1}{3}$ で赤玉を取り出して $S_0$ に遷移し、確率 $\frac{2}{3}$ で青玉を取り出して $S_2$ に遷移する。
$S_0$ から：必ず青玉を取り出すため、確率 $1$ で $S_1$ に遷移する。

(1)

2回目の操作で硬貨をもらう、すなわち2回目の操作後に状態が $S_0$ になるのは、初期状態 $S_2$ から1回目に $S_1$ を経由して $S_0$ に遷移する場合のみである。よって、求める確率は

$$ \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9} $$

(2)

1回の操作において、赤玉を取り出せば代わりに青玉を入れるので赤玉は1個減り、青玉を取り出せば代わりに赤玉を入れるので赤玉は1個増える。いずれの場合も、1回の操作の前後で赤玉の個数の偶奇は必ず入れ替わる。

初期状態における赤玉の個数は2（偶数）であるから、$n$ 回目の操作後の赤玉の個数は、$n$ が奇数のときは奇数となり、$n$ が偶数のときは偶数となる。硬貨をもらうのは赤玉の個数が0（偶数）になるときであるから、奇数回目の操作後に赤玉が0個になることはない。したがって、奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない。（証明終）

(3)

(2)の議論から、硬貨をもらう（状態が $S_0$ になる）のは偶数回目の操作後のみである。また、偶数回目の操作後、状態は必ず $S_0$ または $S_2$ のいずれかになる。

状態 $S_2$ から出発して2回の操作を行い、一度も $S_0$ にならずに再び $S_2$ に戻る確率を $p$ とする。このときの遷移は $S_2 \to S_1 \to S_2$ または $S_2 \to S_3 \to S_2$ であるから、

$$ p = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times 1 = \frac{7}{9} $$

である。 8回目の操作ではじめて硬貨をもらうのは、2回目、4回目、6回目の操作後にはいずれも状態が $S_2$ であり、そこから7回目、8回目の操作で $S_2 \to S_1 \to S_0$ と遷移する場合である。よって、求める確率は

$$ p^3 \times \left( \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \right) = \left( \frac{7}{9} \right)^3 \times \frac{2}{9} = \frac{686}{6561} $$

(4)

8回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど1枚になるのは、2回目、4回目、6回目、8回目のいずれか1回のみ状態が $S_0$ になる場合である。 $2k$ 回目（$k=1, 2, 3, 4$）の操作ではじめて $S_0$ になり、その後の $8-2k$ 回の操作で一度も $S_0$ にならない確率を $P_k$ とする。求める確率は $P_1 + P_2 + P_3 + P_4$ である。

(i) $k=4$（8回目のみ）の場合

(3)より、8回目にはじめて $S_0$ になる確率そのものであるから、

$$ P_4 = \frac{686}{6561} $$

(ii) $k=1, 2, 3$ の場合

$2k$ 回目にはじめて $S_0$ になる確率は $p^{k-1} \times \frac{2}{9}$ である。 $S_0$ になった直後の2回の操作による遷移は、$S_0 \to S_1 \to S_0$（確率 $1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$）と $S_0 \to S_1 \to S_2$（確率 $1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$）のいずれかである。

以降、一度も $S_0$ にならないためには、まず $S_0$ から2回の操作で $S_2$ に遷移し、残りの操作では2回ごとに $S_2 \to S_2$ の遷移を繰り返せばよい。 $2k$ 回目以降に残された操作回数は $8-2k$ 回であり、これは $2(4-k)$ 回である。よって、その後の $8-2k$ 回の操作で一度も $S_0$ にならない確率は、$\frac{2}{3} \times p^{(4-k)-1} = \frac{2}{3} p^{3-k}$ となる。したがって、

$$ \begin{aligned} P_k &= \left( p^{k-1} \times \frac{2}{9} \right) \times \left( \frac{2}{3} p^{3-k} \right) \\ &= \frac{4}{27} p^2 \\ &= \frac{4}{27} \left( \frac{7}{9} \right)^2 \\ &= \frac{4}{27} \times \frac{49}{81} \\ &= \frac{196}{2187} \end{aligned} $$

これは $k$ の値によらず一定である。以上より、求める確率は、

$$ \begin{aligned} P_1 + P_2 + P_3 + P_4 &= 3 \times \frac{196}{2187} + \frac{686}{6561} \\ &= \frac{1764}{6561} + \frac{686}{6561} \\ &= \frac{2450}{6561} \end{aligned} $$

解説

状態遷移確率（マルコフ連鎖）の典型問題である。確率変数を「赤玉の個数」という明確な状態に落とし込み、遷移図を頭に描いて計算していくアプローチが基本となる。
(2) のように、「1回の操作で特定の量が必ず $\pm 1$ される」設定では、偶奇性（パリティ）に着目するのが定石である。これにより、調べるべき状態やタイミングを半分に絞ることができる。
(4) では、「ちょうど1回」という条件を「どのタイミングでその1回が起こるか」で場合分けして考える。状態0から状態0への戻り方に注意して独立した事象の確率を掛け合わせる。$k=1, 2, 3$ の確率が等しくなるのは、順序が異なるだけで全体の遷移の内訳（$S_2 \to S_0$ の突入、$S_0 \to S_2$ の脱出、$S_2 \to S_2$ のループ）が一致するからである。