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九州大学 2018年理系第5問解説

方針・初手

与えられた等式において、未知数である複素数 $z$ とその共役複素数 $\overline{z}$、および絶対値 $|z|$ が混在しています。このような場合は、等式を移項して両辺の絶対値をとることで、$|z|$ に関する方程式を導き、先に $|z|$ の値を決定する方針が有効です。

また、方程式の中にパラメータ $\alpha$ が含まれており、両辺を割る操作が必要になるため、$\alpha = 0$ と $\alpha \neq 0$ の場合で分けて考えます。

解法1

与えられた等式を変形する。

$$ i(2|\alpha|^2+1)\overline{z} = -\alpha(|z|^2+2) $$

(i) $\alpha = 0$ のとき

方程式は以下のようになる。

$$ i(0+1)\overline{z} = 0 $$

これより $\overline{z} = 0$ となり、したがって $z = 0$ である。

(ii) $\alpha \neq 0$ のとき

$|\alpha| > 0$ である。方程式の両辺の絶対値をとる。

$$ |i(2|\alpha|^2+1)\overline{z}| = |-\alpha(|z|^2+2)| $$

$|i| = 1$、$| - \alpha| = |\alpha|$、$|\overline{z}| = |z|$ であり、$2|\alpha|^2+1 > 0$、$|z|^2+2 > 0$ であるから、次のように整理できる。

$$ (2|\alpha|^2+1)|z| = |\alpha|(|z|^2+2) $$

展開して $|z|$ についての2次方程式として整理する。

$$ |\alpha||z|^2 - (2|\alpha|^2+1)|z| + 2|\alpha| = 0 $$

左辺をたすき掛けにより因数分解する。

$$ (|\alpha||z| - 1)(|z| - 2|\alpha|) = 0 $$

これより、$|z|$ の値は以下のいずれかとなる。

$$ |z| = \frac{1}{|\alpha|}, \quad |z| = 2|\alpha| $$

ここで、元の方程式から $\overline{z}$ について解く。

$$ \overline{z} = \frac{-\alpha(|z|^2+2)}{i(2|\alpha|^2+1)} = i \frac{\alpha(|z|^2+2)}{2|\alpha|^2+1} $$

両辺の共役複素数をとると、$z$ は次のように表される。

$$ z = -i \frac{\overline{\alpha}(|z|^2+2)}{2|\alpha|^2+1} $$

この式に先ほど求めた $|z|$ の候補をそれぞれ代入する。

** $|z| = \frac{1}{|\alpha|}$ のとき**

$$ |z|^2+2 = \frac{1}{|\alpha|^2} + 2 = \frac{1+2|\alpha|^2}{|\alpha|^2} $$

これを代入して整理する。

$$ z = -i \frac{\overline{\alpha}}{2|\alpha|^2+1} \cdot \frac{1+2|\alpha|^2}{|\alpha|^2} = -i \frac{\overline{\alpha}}{|\alpha|^2} = -i \frac{\overline{\alpha}}{\alpha \overline{\alpha}} = -\frac{i}{\alpha} $$

** $|z| = 2|\alpha|$ のとき**

$$ |z|^2+2 = 4|\alpha|^2+2 = 2(2|\alpha|^2+1) $$

これを代入して整理する。

$$ z = -i \frac{\overline{\alpha} \cdot 2(2|\alpha|^2+1)}{2|\alpha|^2+1} = -2i\overline{\alpha} $$

逆に、求めた $z = -\frac{i}{\alpha}$、$z = -2i\overline{\alpha}$ をそれぞれ元の等式に代入すると、等式を満たすことが確認できる。（絶対値をとる操作が同値変形となっているため）

以上より、$\alpha \neq 0$ のときの解は $z = -\frac{i}{\alpha}, -2i\overline{\alpha}$ である。

(i)、(ii) をまとめると、$\alpha=0$ のときは $z=0$、$\alpha \neq 0$ のときは $z = -\frac{i}{\alpha}, -2i\overline{\alpha}$ となる。

解法2

$\alpha \neq 0$ の場合において、複素数を極形式で表す別解を示す。

$\alpha \neq 0$ より、$\alpha$ と $z$ を次のように極形式で置く。

$$ \alpha = r(\cos\theta + i\sin\theta) \quad (r > 0) $$

$$ z = R(\cos\phi + i\sin\phi) \quad (R \geqq 0) $$

与えられた等式を移項する。

$$ \alpha(|z|^2+2) = -i(2|\alpha|^2+1)\overline{z} $$

左辺を極形式で表す。

$$ \text{(左辺)} = r(R^2+2)(\cos\theta + i\sin\theta) $$

右辺について、$-i = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ と $\overline{z} = R(\cos(-\phi) + i\sin(-\phi))$ を用いて変形する。

$$ \text{(右辺)} = (2r^2+1)R \left\{ \cos\left(-\phi-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\phi-\frac{\pi}{2}\right) \right\} $$

両辺の絶対値と偏角を比較する。まず絶対値を比較すると次の式が得られる。

$$ r(R^2+2) = (2r^2+1)R $$

これを $R$ についての2次方程式として解く。

$$ r R^2 - (2r^2+1)R + 2r = 0 $$

$$ (rR - 1)(R - 2r) = 0 $$

$$ R = \frac{1}{r}, \quad 2r $$

次に偏角を比較すると、整数 $k$ を用いて次のように表される。

$$ \theta = -\phi - \frac{\pi}{2} + 2k\pi $$

$$ \phi = -\theta - \frac{\pi}{2} + 2k\pi $$

これより $z$ の偏角が決まり、$z$ は次のように計算できる。

$$ z = R \left\{ \cos\left(-\theta-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\theta-\frac{\pi}{2}\right) \right\} $$

$$ = R (\cos(-\theta) - i\sin(-\theta)) \left( \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) $$

$$ = R (\cos\theta - i\sin\theta) (-i) $$

$$ = -i R \frac{r(\cos\theta - i\sin\theta)}{r} $$

$$ = -i R \frac{\overline{\alpha}}{r} $$

求めた $R$ の候補をそれぞれ代入する。

** $R = \frac{1}{r}$ のとき**

$$ z = -i \frac{1}{r} \frac{\overline{\alpha}}{r} = -i \frac{\overline{\alpha}}{r^2} = -i \frac{\overline{\alpha}}{\alpha \overline{\alpha}} = -\frac{i}{\alpha} $$

** $R = 2r$ のとき**

$$ z = -i (2r) \frac{\overline{\alpha}}{r} = -2i\overline{\alpha} $$

解説

複素数の方程式において、「共役複素数」や「絶対値」が含まれている場合の典型的な処理が問われています。そのまま $z = x + yi$ と置いて実部と虚部を比較することも可能ですが、式が非常に煩雑になります。

等式の両辺の絶対値をとることで、未知数である $z$ の絶対値 $|z|$ だけを取り出して方程式を立てる発想が重要です。$|z|$ は実数であるため、扱いやすい実数係数の2次方程式に帰着させることができます。極形式を利用する解法2も、本質的には「絶対値の比較」と「偏角の比較」に分解しているため、同じ発想に基づいています。

また、式変形の中で文字で割る場面（本問では $\alpha$ で割る場面）が生じるため、$\alpha = 0$ の場合分けを忘れないように注意が必要です。