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東京工業大学 2018年理系第1問解説

方針・初手

実数係数の2次方程式が実数解を持たないとき、その解は互いに共役な複素数となる。複素数平面上において、共役な複素数の組は実軸に関して対称な位置にある。そのため、これらの解が同一円周上にあるならば、その円の中心は実軸上に存在しなければならない。この対称性に着目し、実軸上の点 $p$ を中心とする円の方程式 $|z - p|^2 = r^2$ を立て、方程式の解がこの円上にあるための条件を解と係数の関係を用いて立式する。

解法1

(1)

方程式①、②がいずれも実数解を持たないための条件は、それぞれの判別式を考えて、

$$ a^2 - 4 < 0 \iff a^2 < 4 $$

$$ b^2 - 8 < 0 \iff b^2 < 8 $$

である。このとき、①の解を $\alpha, \bar{\alpha}$、②の解を $\beta, \bar{\beta}$ とする。解と係数の関係より、以下の関係式が成り立つ。 $$\begin{aligned} \alpha + \bar{\alpha} &= -a \\ \alpha \bar{\alpha} &= |\alpha|^2 = 1 \\ \beta + \bar{\beta} &= -b \\ \beta \bar{\beta} &= |\beta|^2 = 2 \end{aligned}$$

ここで、$a$ と $b$ の値が等しいかどうかで場合分けを行う。

(i)

$a = b$ のとき

$\alpha + \bar{\alpha} = \beta + \bar{\beta}$ より、$\alpha$ と $\beta$ の実部は等しく $-\frac{a}{2}$ である。したがって、4つの解 $\alpha, \bar{\alpha}, \beta, \bar{\beta}$ はすべて虚軸に平行な同一直線（直線 $x = -\frac{a}{2}$）上にある。

(ii)

$a \neq b$ のとき

4つの解が同一円周上にあると仮定する。解は実軸に関して対称に配置されているため、その円の中心は実軸上にある。中心を表す実数を $p$、半径を $r$（$r > 0$）とすると、円の方程式は $|z - p|^2 = r^2$ と表せる。展開すると、

$$ |z|^2 - p(z + \bar{z}) + p^2 = r^2 $$

となる。これに $z = \alpha$ および $z = \beta$ を代入すると、

$$ 1 + ap + p^2 = r^2 \cdots \text{④} $$

$$ 2 + bp + p^2 = r^2 \cdots \text{⑤} $$

④、⑤から $r^2$ を消去すると、

$$ 1 + ap + p^2 = 2 + bp + p^2 $$

$$ (a - b)p = 1 $$

$a \neq b$ であるから、

$$ p = \frac{1}{a - b} $$

これを④に代入して $r^2$ を求める。 $$\begin{aligned} r^2 &= 1 + \frac{a}{a - b} + \frac{1}{(a - b)^2} \\ &= \frac{(a - b)^2 + a(a - b) + 1}{(a - b)^2} \\ &= \frac{2a^2 - 3ab + b^2 + 1}{(a - b)^2} \end{aligned}$$ ここで、分子について平方完成を行うと、

$$ 2a^2 - 3ab + b^2 + 1 = 2\left(a - \frac{3}{4}b\right)^2 - \frac{9}{8}b^2 + b^2 + 1 = 2\left(a - \frac{3}{4}b\right)^2 + 1 - \frac{b^2}{8} $$

$b^2 < 8$ であるから $\frac{b^2}{8} < 1$ となり、$1 - \frac{b^2}{8} > 0$ である。したがって、$r^2 > 0$ が常に成り立つため、正の実数 $r$ が存在し、4点は確かに同一円周上にある。

以上（i）、（ii）より、これら4つの解はすべて同一円周上にあるか、またはすべて同一直線上にあることが示された。また、すべて同一円周上にあるときの円の中心は $\frac{1}{a-b}$、半径は $\frac{\sqrt{2a^2 - 3ab + b^2 + 1}}{|a - b|}$ である。

(2)

方程式③が実数解を持たない条件は、判別式より

$$ c^2 - 12 < 0 \iff c^2 < 12 $$

である。このとき、③の解を $\gamma, \bar{\gamma}$ とすると、解と係数の関係から、 $$\begin{aligned} \gamma + \bar{\gamma} &= -c \\ |\gamma|^2 &= 3 \end{aligned}$$ が成り立つ。

3つの方程式の6つの解がすべて同一円周上にあるためには、まず(1)の考察から同一直線上になる場合を除外する必要があるため、$a \neq b$ でなければならない。このとき、(1)で求めたように、①と②の解を通る円の中心は $p = \frac{1}{a - b}$ であり、円の方程式は $|z|^2 - p(z + \bar{z}) + p^2 = r^2$ となる。 ③の解 $\gamma$ もこの円周上にあるための条件は、

$$ |\gamma|^2 - p(\gamma + \bar{\gamma}) + p^2 = r^2 $$

$$ 3 + cp + p^2 = r^2 $$

これが成り立つことである。(1)の④式より $r^2 = 1 + ap + p^2$ であるから、

$$ 3 + cp + p^2 = 1 + ap + p^2 $$

$$ (a - c)p = 2 $$

ここに $p = \frac{1}{a - b}$ を代入すると、

$$ \frac{a - c}{a - b} = 2 $$

$$ a - c = 2(a - b) $$

$$ a + c = 2b $$

を得る。このとき、$a \neq b$ であれば自動的に $b \neq c$ となり、条件を満たす。したがって、求める必要十分条件は、各方程式が実数解を持たない条件と合わせて、$a^2 < 4$、$b^2 < 8$、$c^2 < 12$、$a + c = 2b$、$a \neq b$ がすべて成り立つことである。

解説

複素数平面における円の方程式 $|z - p|^2 = r^2$ を活用し、代数的な処理に持ち込むのが典型的な解法である。共役な虚数解を持つ実係数方程式では、解の配置が実軸に対して対称になるという幾何学的な特徴を最初に押さえることで、円の中心を実数 $p$ と置くことができ、計算量を大幅に減らすことができる。 (1)の半径の存在条件（$r^2 > 0$）の確認において、実数解を持たない条件（$b^2 < 8$）が使われる点はやや見落としやすいので注意が必要である。