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名古屋大学 1962年文系第5問解説

方針・初手

与えられた真数 $1.4$、$1.8$、$2.1$ を分数に直し、$\log 2$、$\log 3$、$\log 7$ を未知数とする連立方程式を立てる。そこから $\log 3$ や $\log 7$ の値を求め、素因数分解を用いて $\log 63$ を計算する。

解法1

常用対数の底 $10$ は省略して記述する。与えられたそれぞれの対数について、真数を分数で表して変形する。

$$ \log 1.4 = \log \frac{14}{10} = \log 14 - \log 10 = \log 2 + \log 7 - 1 $$

これが $0.146$ であるから、

$$ \log 2 + \log 7 = 1.146 \quad \cdots \text{①} $$

同様に、

$$ \log 1.8 = \log \frac{18}{10} = \log 18 - \log 10 = \log 2 + 2\log 3 - 1 $$

これが $0.255$ であるから、

$$ \log 2 + 2\log 3 = 1.255 \quad \cdots \text{②} $$

さらに、

$$ \log 2.1 = \log \frac{21}{10} = \log 21 - \log 10 = \log 3 + \log 7 - 1 $$

これが $0.322$ であるから、

$$ \log 3 + \log 7 = 1.322 \quad \cdots \text{③} $$

これら3つの式から $\log 3$ を求める。 ② から ① を辺々引くと、

$$ 2\log 3 - \log 7 = 0.109 \quad \cdots \text{④} $$

③ と ④ の辺々を足すと、

$$ 3\log 3 = 1.431 $$

よって、

$$ \log 3 = 0.477 $$

これを ③ に代入して $\log 7$ を求める。

$$ 0.477 + \log 7 = 1.322 $$

$$ \log 7 = 0.845 $$

以上より、求める $\log 63$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \log 63 &= \log(3^2 \times 7) \\ &= 2\log 3 + \log 7 \\ &= 2 \times 0.477 + 0.845 \\ &= 0.954 + 0.845 \\ &= 1.799 \end{aligned} $$

解法2

$\log 63$ の真数を、与えられている真数 $2.1$ を利用して変形する。

$$ 63 = 21 \times 3 = 2.1 \times 10 \times 3 $$

両辺の常用対数をとると、

$$ \begin{aligned} \log 63 &= \log(2.1 \times 10 \times 3) \\ &= \log 2.1 + \log 10 + \log 3 \\ &= 0.322 + 1 + \log 3 \\ &= 1.322 + \log 3 \end{aligned} $$

ここで、解法1と同様の手順（①、②、③の連立方程式）で $\log 3 = 0.477$ を求める。これを代入すると、

$$ \log 63 = 1.322 + 0.477 = 1.799 $$

解説

与えられた小数を一旦 $\frac{M}{10}$ の形に直し、そこから基本的な素数の対数（$\log 2, \log 3, \log 7$）についての連立方程式を導くのが定石である。解法2のように、求めたい $\log 63$ の真数 $63$ の中に、既に与えられている値に関連する数（今回は $21$ および $2.1$）を見出すことで、$\log 7$ を求める手間を省き、計算を少しだけ短縮することができる。