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名古屋大学 2021年理系第2問解説

方針・初手

(1) は対数の底の変換公式を用いて計算する。
(2) は対数の値を評価し、$\delta = \frac{3}{2}$ や他の分かりやすい有理数と比較する。
(3) は $p, q$ と $\alpha\beta\gamma=1$ という関係から、$f(x)$ を因数分解できることに気づくのがポイントである。因数分解した形に値を代入し、(2) で求めた大小関係を利用して各因数の正負を調べる。

解法1

(1)

底の変換公式を用いて、対数の底を $2$ に統一する。

$$ \log_3 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 3} $$

$$ \log_5 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 5} = \frac{1}{\log_2 5} $$

したがって、

$$ \alpha\beta\gamma = \log_2 3 \cdot \frac{\log_2 5}{\log_2 3} \cdot \frac{1}{\log_2 5} = 1 $$

が成り立つ。

(2)

各値の大きさを評価する。

$\gamma = \log_5 2$ について、底 $5$ は $1$ より大きく、$1 < 2 < \sqrt{5}$ が成り立つ。この各辺の底 $5$ の対数をとると、

$$ \log_5 1 < \log_5 2 < \log_5 5^{\frac{1}{2}} $$

すなわち、

$$ 0 < \gamma < \frac{1}{2} $$

$\beta = \log_3 5$ について、底 $3$ は $1$ より大きい。また、$3 < 5 < \sqrt{27} = 3^{\frac{3}{2}}$ が成り立つ。なぜなら $25 < 27$ より $\sqrt{25} < \sqrt{27}$ だからである。この各辺の底 $3$ の対数をとると、

$$ \log_3 3 < \log_3 5 < \log_3 3^{\frac{3}{2}} $$

すなわち、

$$ 1 < \beta < \frac{3}{2} = \delta $$

$\alpha = \log_2 3$ について、底 $2$ は $1$ より大きい。また、$2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{8} < \sqrt{9} = 3$ が成り立つ。この両辺の底 $2$ の対数をとると、

$$ \log_2 2^{\frac{3}{2}} < \log_2 3 $$

すなわち、

$$ \delta = \frac{3}{2} < \alpha $$

以上の結果から、

$$ \gamma < \frac{1}{2} < 1 < \beta < \delta < \alpha $$

となるため、小さい順に並べると $\gamma, \beta, \delta, \alpha$ となる。

(3)

(1) より $\alpha\beta\gamma = 1$ である。これを用いて $q$ を変形すると、

$$ q = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\beta\gamma + \gamma\alpha + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma} = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha $$

となる。また、$p = \alpha + \beta + \gamma$ である。したがって、$f(x)$ は次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} f(x) &= x^3 + px^2 + qx + 1 \\ &= x^3 + (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x + \alpha\beta\gamma \\ &= (x + \alpha)(x + \beta)(x + \gamma) \end{aligned} $$

ここで、(2) の評価の途中で得られた不等式を振り返ると、以下の大小関係がわかっている。

$$ \gamma < \frac{1}{2} < 1 < \beta < \frac{3}{2} < \alpha $$

これを利用して、$x = -\frac{1}{2}, -1, -\frac{3}{2}$ を代入したときの各因数の正負を調べる。

$f\left(-\frac{1}{2}\right)$ について：

$$ f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(\alpha - \frac{1}{2}\right)\left(\beta - \frac{1}{2}\right)\left(\gamma - \frac{1}{2}\right) $$

$\alpha > \frac{3}{2} > \frac{1}{2}$, $\beta > 1 > \frac{1}{2}$, $\gamma < \frac{1}{2}$ であるから、 $\alpha - \frac{1}{2} > 0$, $\beta - \frac{1}{2} > 0$, $\gamma - \frac{1}{2} < 0$ となる。（正）×（正）×（負）なので、$f\left(-\frac{1}{2}\right) < 0$（負）である。

$f(-1)$ について：

$$ f(-1) = (\alpha - 1)(\beta - 1)(\gamma - 1) $$

$\alpha > \frac{3}{2} > 1$, $\beta > 1$, $\gamma < \frac{1}{2} < 1$ であるから、 $\alpha - 1 > 0$, $\beta - 1 > 0$, $\gamma - 1 < 0$ となる。（正）×（正）×（負）なので、$f(-1) < 0$（負）である。

$f\left(-\frac{3}{2}\right)$ について：

$$ f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(\alpha - \frac{3}{2}\right)\left(\beta - \frac{3}{2}\right)\left(\gamma - \frac{3}{2}\right) $$

$\alpha > \frac{3}{2}$, $\beta < \frac{3}{2}$, $\gamma < \frac{1}{2} < \frac{3}{2}$ であるから、 $\alpha - \frac{3}{2} > 0$, $\beta - \frac{3}{2} < 0$, $\gamma - \frac{3}{2} < 0$ となる。（正）×（負）×（負）なので、$f\left(-\frac{3}{2}\right) > 0$（正）である。

解説

対数の値のおおよその大きさを評価する問題と、解と係数の関係（あるいは因数分解）を利用する問題の融合です。 (2) で対数の値を直接比較するのは難しいため、基準となる有理数（とくに $\delta=\frac{3}{2}$ や $\frac{1}{2}$, $1$ など）を介して不等式を作るのが定石です。(3) において正負を判定する値が $-\frac{1}{2}, -1, -\frac{3}{2}$ と与えられていることからも、(2) で $\frac{1}{2}$ や $1$ との大小比較を済ませておくことが誘導に乗る鍵となっています。