名古屋大学 1969年 文系 第2問 解説

方針・初手

与えられたベクトルの等式の始点をいずれか一つの頂点（例えば点A）に統一し、点Pの位置ベクトルを表現し直します。点Pが辺をどのような比で内分する点と結ばれているかを図形的に把握することで、全体の三角形と各小三角形の面積比を求めていきます。

解法1

点Aを始点とするベクトルで考える。 与えられた等式

$$3\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{BP} + 5\overrightarrow{CP} = \vec{0}$$

について、$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}$ を代入すると、

$$3\overrightarrow{AP} + 4(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) + 5(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) = \vec{0}$$

$$12\overrightarrow{AP} = 4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}$$

$$\overrightarrow{AP} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}}{12}$$

これを、内分の形が現れるように変形する。

$$\overrightarrow{AP} = \frac{9}{12} \cdot \frac{4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}}{5 + 4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}}{9}$$

ここで、線分BCを $5:4$ に内分する点をDとすると、

$$\overrightarrow{AD} = \frac{4\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}}{9}$$

となるため、

$$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$$

と表せる。これは、点Dが辺BCを $5:4$ に内分し、点Pが線分ADを $3:1$ に内分する点であることを示している。

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とする。

点Dは辺BCを $5:4$ に内分するので、それぞれの三角形の面積は底辺の長さの比より、

$$\triangle ABD = \frac{5}{9}S$$

$$\triangle ACD = \frac{4}{9}S$$

となる。次に、点Pは線分ADを $3:1$ に内分するので、

$$\triangle ABP = \frac{3}{4}\triangle ABD = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{9}S = \frac{5}{12}S$$

$$\triangle CAP = \frac{3}{4}\triangle ACD = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9}S = \frac{1}{3}S = \frac{4}{12}S$$

また、$\triangle BCP$ の面積は全体の面積 $S$ から引くか、線分AD上の底辺の比から求められる。

$$\triangle BCP = \frac{1}{4}\triangle ABC = \frac{1}{4}S = \frac{3}{12}S$$

以上より、求める面積比は

$$\triangle ABP : \triangle BCP : \triangle CAP = \frac{5}{12}S : \frac{3}{12}S : \frac{4}{12}S = 5 : 3 : 4$$

解法2

点Pを始点としたベクトルの関係式から、交点を設定して解く。

与えられた等式の両辺に $-1$ を掛けて、始点をPとした形に直す。

$$3\overrightarrow{PA} + 4\overrightarrow{PB} + 5\overrightarrow{PC} = \vec{0}$$

これを変形して、

$$3\overrightarrow{PA} + 4\overrightarrow{PB} = -5\overrightarrow{PC}$$

$$7 \cdot \frac{3\overrightarrow{PA} + 4\overrightarrow{PB}}{7} = -5\overrightarrow{PC}$$

ここで、線分ABを $4:3$ に内分する点をEとすると、

$$\overrightarrow{PE} = \frac{3\overrightarrow{PA} + 4\overrightarrow{PB}}{3 + 4}$$

となるため、

$$7\overrightarrow{PE} = -5\overrightarrow{PC}$$

$$\overrightarrow{PE} = -\frac{5}{7}\overrightarrow{PC}$$

これが成り立つことから、点Pは線分CE上にあり、線分CEを $7:5$ に内分する点であることが分かる。

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とする。

点Eは辺ABを $4:3$ に内分するので、

$$\triangle ACE = \frac{4}{7}S$$

$$\triangle BCE = \frac{3}{7}S$$

点Pは線分CEを $7:5$ に内分するので、

$$\triangle CAP = \frac{7}{12}\triangle ACE = \frac{7}{12} \cdot \frac{4}{7}S = \frac{4}{12}S$$

$$\triangle BCP = \frac{7}{12}\triangle BCE = \frac{7}{12} \cdot \frac{3}{7}S = \frac{3}{12}S$$

残りの $\triangle ABP$ の面積は、点Pと直線ABの距離が点Cと直線ABの距離の $\frac{5}{12}$ 倍であることから、

$$\triangle ABP = \frac{5}{12}\triangle ABC = \frac{5}{12}S$$

したがって、求める面積比は

$$\triangle ABP : \triangle BCP : \triangle CAP = \frac{5}{12}S : \frac{3}{12}S : \frac{4}{12}S = 5 : 3 : 4$$

解説

ベクトルの等式と三角形の面積比に関する非常に典型的な問題です。 一つの頂点を始点とする位置ベクトルに直して図形的な位置関係（内分点）を特定する解法1が王道ですが、解法2のように始点を変えずに処理することも可能です。

また、本問のような設定においては、以下の性質が成り立つことが知られています。 $\triangle ABC$ の内部の点Pについて、$a\overrightarrow{PA} + b\overrightarrow{PB} + c\overrightarrow{PC} = \vec{0}$ （$a, b, c$ は正の定数）が成り立つとき、

$$\triangle BCP : \triangle CAP : \triangle ABP = a : b : c$$

となります。本問の式は $3\overrightarrow{AP} + 4\overrightarrow{BP} + 5\overrightarrow{CP} = \vec{0}$ であり、これは $-3\overrightarrow{PA} - 4\overrightarrow{PB} - 5\overrightarrow{PC} = \vec{0}$、すなわち $3\overrightarrow{PA} + 4\overrightarrow{PB} + 5\overrightarrow{PC} = \vec{0}$ と言い換えられます。

この公式を知っていれば、計算を行う前から $\triangle BCP : \triangle CAP : \triangle ABP = 3 : 4 : 5$ になることが予測でき、計算ミスの防止（検算）に役立ちます。ただし、記述式の解答では公式の丸暗記に頼らず、解法1や解法2のように導出過程をしっかりと示す必要があります。

答え

$$5 : 3 : 4$$