東北大学 2004年 文系 第2問 解説

方針・初手

$\theta=\angle AOC=\angle OAB$ とおく。

等脚台形で $OA\parallel CB$ であるから，脚 $OC,AB$ はともに底辺 $OA$ となす角が $\theta$ であり，左右のはみ出しはそれぞれ $c\cos\theta$ だけである。したがって，上底の長さや高さは $\theta$ を用いて表せる。

また，

$$ m=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=ac\cos\theta $$

であるから，$\cos\theta$ を $m$ に置き換えて整理すればよい。

解法1

まず，$OA$ を下底，$CB$ を上底とする等脚台形であるから，上底の長さは

$$ |CB|=a-2c\cos\theta $$

である。

実際，点 $C$ と点 $B$ はそれぞれ脚 $OC,AB$ に沿って底辺の両端から内側へ $c\cos\theta$ ずつ入った位置にある。

等脚台形であるから上底の長さは正であり，

$$ a-2c\cos\theta>0 $$

が成り立つ。よって

$$ c\cos\theta<\frac a2 $$

である。ここで

$$ m=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=ac\cos\theta $$

より，

$$ m<a\cdot \frac a2=\frac{a^2}{2} $$

を得る。これで （1） が示された。

次に，高さは

$$ h=c\sin\theta $$

であるから，台形の面積 $S$ は

$$ S=\frac{a+|CB|}{2},h =\frac{a+(a-2c\cos\theta)}{2},c\sin\theta =(a-c\cos\theta)c\sin\theta $$

となる。

ここで

$$ c\cos\theta=\frac{m}{a} $$

であり，

$$ c\sin\theta =\sqrt{c^2-c^2\cos^2\theta} =\sqrt{c^2-\frac{m^2}{a^2}} =\frac{\sqrt{a^2c^2-m^2}}{a} $$

だから，

$$ S=\left(a-\frac{m}{a}\right)\frac{\sqrt{a^2c^2-m^2}}{a} =\frac{a^2-m}{a^2}\sqrt{a^2c^2-m^2} $$

を得る。これで （2） が示された。

最後に，$\overrightarrow{CB}$ は $\overrightarrow{OA}$ と平行で，同じ向きであるから，

$$ \overrightarrow{CB} =\frac{|CB|}{a}\overrightarrow{OA} =\left(1-\frac{2c\cos\theta}{a}\right)\overrightarrow{OA} =\left(1-\frac{2m}{a^2}\right)\overrightarrow{OA} $$

となる。したがって

$$ \overrightarrow{OB} =\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{OC}+\left(1-\frac{2m}{a^2}\right)\overrightarrow{OA} $$

である。

点 $D$ は対角線 $AC$ 上にも $OB$ 上にもあるから，ある実数 $s,t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OD} =(1-s)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OC} =t,\overrightarrow{OB} $$

と表せる。上の $\overrightarrow{OB}$ の式を代入すると

$$ \overrightarrow{OD} =t\left{\left(1-\frac{2m}{a^2}\right)\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OC}\right} $$

である。$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}$ の係数を比較すると

$$ s=t,\qquad 1-s=t\left(1-\frac{2m}{a^2}\right) $$

となるので，

$$ 1-t=t\left(1-\frac{2m}{a^2}\right) $$

すなわち

$$ 1=2t\left(1-\frac{m}{a^2}\right) $$

より

$$ t=\frac{a^2}{2(a^2-m)} $$

を得る。したがって

$$ \overrightarrow{OD} =t\left{\left(1-\frac{2m}{a^2}\right)\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OC}\right} $$

に代入して

$$ \overrightarrow{OD} =\frac{a^2-2m}{2(a^2-m)}\overrightarrow{OA} +\frac{a^2}{2(a^2-m)}\overrightarrow{OC} $$

となる。これで （3） が示された。

解説

この問題の要点は，等脚台形をベクトルだけで無理に処理せず，まず角 $\theta=\angle AOC=\angle OAB$ を導入して，底辺方向の成分と高さに分けて考えることである。

（1） では，上底 $CB$ の長さが正であることから $a-2c\cos\theta>0$ を作るのが本質である。

（2） では，面積を 「平均の底辺の長さ $\times$ 高さ」 で表したあと，$ac\cos\theta=m$ を用いて $\theta$ を消去する。

（3） では，まず $\overrightarrow{OB}$ を $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC}$ で表し，その後に 「$D$ は $AC$ 上の点」 「$D$ は $OB$ 上の点」 という 2 通りの表し方を係数比較するのが最も自然である。

答え

$$ \text{（1）}\quad m<\frac{a^2}{2} $$

$$ \text{（2）}\quad S=\frac{a^2-m}{a^2}\sqrt{a^2c^2-m^2} $$

$$ \text{（3）}\quad \overrightarrow{OD} =\frac{a^2-2m}{2(a^2-m)}\overrightarrow{OA} +\frac{a^2}{2(a^2-m)}\overrightarrow{OC} $$