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名古屋大学 1981年文系第3問解説

方針・初手

$10^n - l$ を $10$ 進数で表したときの各桁の数字がどうなるかを考えます。直接引き算を考える代わりに、$10^n - l = (10^n - 1) - l + 1$ と変形することで、すべての桁が $9$ の数からの引き算と、最後に $1$ を加える操作に分けるのが定石です。 $l$ を下の桁から見たときに、初めて $0$ でない数字が現れる桁に着目し、そこで $1$ の加算による繰り上がりが吸収されることを数式で表現します。

解法1

$l = \sum_{k=0}^{n-1} 10^k a_k$ （$0 \leqq a_k \leqq 9$）とします。 $l \geqq 1$ より、すべての $a_k$ が $0$ になることはありません。よって、$a_k \neq 0$ となる最小の整数 $k$ を $p$ （$0 \leqq p \leqq n-1$）とします。すなわち、$a_0 = a_1 = \dots = a_{p-1} = 0$ かつ $a_p \neq 0$ です。このとき、$p$ の値によって場合分けをして $10^n - l$ の各桁を調べます。

(i) $0 \leqq p \leqq n-2$ のとき

$l$ は次のように表されます。

$$l = a_p 10^p + \sum_{k=p+1}^{n-1} a_k 10^k$$

次に、$10^n - l$ を計算します。 $10^n - 1 = \sum_{k=0}^{n-1} 9 \cdot 10^k$ （すべての桁が $9$ の $n$ 桁の数）であることを用いると、次のように変形できます。

$$\begin{aligned} 10^n - l &= (10^n - 1) - l + 1 \\ &= \sum_{k=0}^{n-1} 9 \cdot 10^k - \left( a_p 10^p + \sum_{k=p+1}^{n-1} a_k 10^k \right) + 1 \\ &= \sum_{k=0}^{p-1} 9 \cdot 10^k + 1 + (9 - a_p) 10^p + \sum_{k=p+1}^{n-1} (9 - a_k) 10^k \end{aligned}$$

ここで、$\sum_{k=0}^{p-1} 9 \cdot 10^k = 10^p - 1$ を用いると、$\sum_{k=0}^{p-1} 9 \cdot 10^k + 1 = 10^p$ となります。これを代入して整理します。

$$\begin{aligned} 10^n - l &= 10^p + (9 - a_p) 10^p + \sum_{k=p+1}^{n-1} (9 - a_k) 10^k \\ &= (10 - a_p) 10^p + \sum_{k=p+1}^{n-1} (9 - a_k) 10^k \end{aligned}$$

$a_p \neq 0$ より $1 \leqq a_p \leqq 9$ であるから、$1 \leqq 10 - a_p \leqq 9$ を満たします。また、$p+1 \leqq k \leqq n-1$ において $0 \leqq 9 - a_k \leqq 9$ を満たします。したがって、これが $10^n - l$ の $10$ 進数展開そのものです。 $s(l)$ と $s(10^n - l)$ はそれぞれ各桁の数字の和であるから、次のようになります。

$$\begin{aligned} s(l) &= a_p + \sum_{k=p+1}^{n-1} a_k \\ s(10^n - l) &= (10 - a_p) + \sum_{k=p+1}^{n-1} (9 - a_k) \end{aligned}$$

これらを足し合わせます。

$$\begin{aligned} s(l) + s(10^n - l) &= (a_p + 10 - a_p) + \sum_{k=p+1}^{n-1} (a_k + 9 - a_k) \\ &= 10 + \sum_{k=p+1}^{n-1} 9 \\ &= 10 + 9 \{(n - 1) - (p + 1) + 1\} \\ &= 10 + 9(n - 1 - p) \end{aligned}$$

(ii) $p = n-1$ のとき

$l = a_{n-1} 10^{n-1}$ と表されます。このとき、$10^n - l$ は次のように計算できます。

$$10^n - l = 10^n - a_{n-1} 10^{n-1} = (10 - a_{n-1}) 10^{n-1}$$

$1 \leqq a_{n-1} \leqq 9$ より、$1 \leqq 10 - a_{n-1} \leqq 9$ となり、各桁の和はそのまま係数になります。

$$\begin{aligned} s(l) &= a_{n-1} \\ s(10^n - l) &= 10 - a_{n-1} \end{aligned}$$

これらを足し合わせると、次のようになります。

$$s(l) + s(10^n - l) = a_{n-1} + (10 - a_{n-1}) = 10$$

これは (i) で得られた式 $10 + 9(n - 1 - p)$ に $p = n-1$ を代入した値と一致します。

以上の (i), (ii) より、すべての $0 \leqq p \leqq n-1$ について

$$s(l) + s(10^n - l) = 10 + 9(n - 1 - p)$$

が成り立ちます。 $n$ は固定された自然数であるから、この値が最小となるのは $p$ が最大のとき、すなわち $p = n-1$ のときです。このとき、最小値は $10 + 9 \cdot 0 = 10$ となります。

また、最小値をとるときの $l$ の条件は $p = n-1$、すなわち $a_0 = a_1 = \dots = a_{n-2} = 0$ かつ $a_{n-1} \neq 0$ です。したがって、$l = a_{n-1} 10^{n-1}$ と表され、$1 \leqq a_{n-1} \leqq 9$ の整数であるから、求める自然数 $l$ は $c \cdot 10^{n-1}$ （$c = 1, 2, \dots, 9$）の形のものに限られます。

解法2

一般に、$2$ つの自然数 $A, B$ について、和 $A+B$ を筆算で計算する際に生じる繰り上がりの回数を $k$ とすると、各桁の数字の和 $s(\cdot)$ について次の等式が成り立つことが知られています。

$$s(A+B) = s(A) + s(B) - 9k$$

（ある位で和が $10$ 以上になり上の位へ $1$ 繰り上がるたびに、計算結果の各位の数字の和は $10 - 1 = 9$ だけ減少するためです。）

本問において、$A = l, B = 10^n - l$ とすると、$A+B = 10^n$ です。 $s(10^n) = 1$ であるから、上記の等式に代入すると、

$$1 = s(l) + s(10^n - l) - 9k$$

よって、次のように表せます。

$$s(l) + s(10^n - l) = 9k + 1$$

この値が最小となるのは、繰り上がりの回数 $k$ が最小となるときです。 $l \geqq 1, 10^n - l \geqq 1$ であり、これらを足して $n+1$ 桁の数 $10^n$ になるためには、少なくとも最上位（$10^{n-1}$ の位から $10^n$ の位への）の繰り上がりが $1$ 回は必要です。ゆえに、$k \geqq 1$ であるから、最小値は $k=1$ のときの $9 \cdot 1 + 1 = 10$ となります。

$k=1$ となる条件、すなわち繰り上がりがちょうど $1$ 回だけ生じる条件を考えます。和が $10^n$ となるから、$10^{n-1}$ の位から $10^n$ の位への繰り上がりは必須です。したがって、それより下位の位（$10^0$ の位から $10^{n-2}$ の位）においては一切繰り上がりが生じてはなりません。和の各桁が $0$ であることと、下位からの繰り上がりがないことから、これらの位における $l$ の数字はすべて $0$ でなければなりません。よって、$l$ は $10^{n-1}$ の倍数です。 $1 \leqq l \leqq 10^n - 1$ の範囲でこれを満たすのは、$l = c \cdot 10^{n-1}$ （$c = 1, 2, \dots, 9$）のときです。逆にこのとき、

$$10^n - l = 10^n - c \cdot 10^{n-1} = (10 - c) \cdot 10^{n-1}$$

となり、足し算 $c \cdot 10^{n-1} + (10 - c) \cdot 10^{n-1}$ は $10^{n-1}$ の位でのみ繰り上がりが生じるため、確かに $k=1$ を満たします。