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名古屋大学 2025年文系第1問解説

方針・初手

放物線が $x$ 軸と交わる2点の $x$ 座標が $p, q$ であることから、解と係数の関係を利用して $p+q$ と $pq$（および $q-p$）を $b, c$ で表す。与えられた $r, s$ の式を $p+q$ と $q-p$ を用いて書き換えることで、(1), (2) の計算が見通しよく進む。 (3) は面積の定積分計算だが、$r, s$ が放物線の軸 $x = -\frac{b}{2}$ に対して対称に位置していることに着目すると、計算量が大幅に軽減される。

解法1

(1)

放物線 $y = x^2 + bx + c$ が2点 $(p, 0), (q, 0)$ を通るから、$p, q$ は二次方程式 $x^2 + bx + c = 0$ の実数解である。解と係数の関係より、

$$p + q = -b$$

$$pq = c$$

また、$p < q$ であり、二次方程式が異なる2つの実数解をもつため判別式 $b^2 - 4c > 0$ である。

$$q - p = \sqrt{(p+q)^2 - 4pq} = \sqrt{b^2 - 4c}$$

与えられた $r, s$ の式を変形する。

$$r = \frac{1+t}{2}p + \frac{1-t}{2}q = \frac{p+q}{2} - \frac{t(q-p)}{2}$$

$$s = \frac{1-t}{2}p + \frac{1+t}{2}q = \frac{p+q}{2} + \frac{t(q-p)}{2}$$

これらを用いて計算する。

$$q - s = q - \left( \frac{p+q}{2} + \frac{t(q-p)}{2} \right) = \frac{q-p}{2} - \frac{t(q-p)}{2} = \frac{1-t}{2}(q-p) = \frac{1-t}{2}\sqrt{b^2 - 4c}$$

$$r - p = \left( \frac{p+q}{2} - \frac{t(q-p)}{2} \right) - p = \frac{q-p}{2} - \frac{t(q-p)}{2} = \frac{1-t}{2}(q-p) = \frac{1-t}{2}\sqrt{b^2 - 4c}$$

$$s + r = \left( \frac{p+q}{2} + \frac{t(q-p)}{2} \right) + \left( \frac{p+q}{2} - \frac{t(q-p)}{2} \right) = p + q = -b$$

$$s - r = \left( \frac{p+q}{2} + \frac{t(q-p)}{2} \right) - \left( \frac{p+q}{2} - \frac{t(q-p)}{2} \right) = t(q-p) = t\sqrt{b^2 - 4c}$$

(2)

(1) で得られた式を用いる。

$$sr = \left( \frac{p+q}{2} + \frac{t(q-p)}{2} \right) \left( \frac{p+q}{2} - \frac{t(q-p)}{2} \right) = \left( \frac{p+q}{2} \right)^2 - \left( \frac{t(q-p)}{2} \right)^2$$

$$= \frac{(-b)^2}{4} - \frac{t^2(b^2 - 4c)}{4} = \frac{1}{4} \left\{ (1-t^2)b^2 + 4ct^2 \right\}$$

$$s^2 + r^2 = (s+r)^2 - 2sr = (-b)^2 - 2 \cdot \frac{b^2 - t^2(b^2 - 4c)}{4}$$

$$= b^2 - \frac{b^2}{2} + \frac{t^2(b^2 - 4c)}{2} = \frac{1}{2} \left\{ (1+t^2)b^2 - 4ct^2 \right\}$$

(3)

積分区間における放物線と $x$ 軸の上下関係を調べる。 (1) より、

$$r - p = \frac{1-t}{2}(q-p)$$

$$s - r = t(q-p)$$

$$q - s = \frac{1-t}{2}(q-p)$$

$p < q$ であり $0 < t \leqq 1$ であるから、$1-t \geqq 0, t > 0$ より $r - p \geqq 0$, $s - r > 0$, $q - s \geqq 0$ が成り立つ。よって、$p \leqq r < s \leqq q$ であり、区間 $[r, s]$ において $f(x) \leqq 0$ である。求める面積を $S$ とすると、

$$S = \int_{r}^{s} \{ 0 - f(x) \} dx = - \int_{r}^{s} (x^2 + bx + c) dx$$

これを計算する。

$$S = - \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx \right]_r^s = - \left( \frac{s^3 - r^3}{3} + \frac{b(s^2 - r^2)}{2} + c(s - r) \right)$$

$$= - (s - r) \left( \frac{s^2 + sr + r^2}{3} + \frac{b(s + r)}{2} + c \right)$$

カッコ内を (1), (2) の結果を用いて $b, c, t$ の式に直す。

$$\frac{s^2 + sr + r^2}{3} = \frac{(s^2+r^2) + sr}{3} = \frac{1}{3} \left( \frac{b^2 + t^2(b^2 - 4c)}{2} + \frac{b^2 - t^2(b^2 - 4c)}{4} \right) = \frac{3b^2 + t^2(b^2 - 4c)}{12}$$

$$\frac{b(s+r)}{2} = \frac{b(-b)}{2} = -\frac{b^2}{2}$$

よってカッコ内は、

$$\frac{3b^2 + t^2(b^2 - 4c)}{12} - \frac{b^2}{2} + c = \frac{3b^2 + t^2(b^2 - 4c) - 6b^2 + 12c}{12} = \frac{-3(b^2 - 4c) + t^2(b^2 - 4c)}{12} = \frac{t^2 - 3}{12}(b^2 - 4c)$$

したがって、

$$S = - t\sqrt{b^2 - 4c} \cdot \frac{t^2 - 3}{12}(b^2 - 4c) = \frac{t(3 - t^2)}{12}(b^2 - 4c)^{\frac{3}{2}}$$

解法2

(3) の別解（置換積分を利用した計算）

(3) において面積 $S$ は

$$S = - \int_{r}^{s} (x^2 + bx + c) dx$$

と表される。被積分関数は平方完成により $f(x) = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \frac{b^2 - 4c}{4}$ となる。ここで、$u = x + \frac{b}{2}$ とおく。$du = dx$ であり、積分区間は次のように変わる。

$x = r$ のとき、$r = -\frac{b}{2} - \frac{t\sqrt{b^2-4c}}{2}$ より $u = -\frac{t\sqrt{b^2-4c}}{2}$

$x = s$ のとき、$s = -\frac{b}{2} + \frac{t\sqrt{b^2-4c}}{2}$ より $u = \frac{t\sqrt{b^2-4c}}{2}$

見やすくするため $D = \sqrt{b^2-4c}$ とおくと、

$$S = - \int_{-\frac{tD}{2}}^{\frac{tD}{2}} \left( u^2 - \frac{D^2}{4} \right) du$$

被積分関数は $u$ の偶関数であるから、

$$S = - 2 \int_{0}^{\frac{tD}{2}} \left( u^2 - \frac{D^2}{4} \right) du = - 2 \left[ \frac{1}{3}u^3 - \frac{D^2}{4}u \right]_0^{\frac{tD}{2}}$$

$$= - 2 \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{t^3 D^3}{8} - \frac{D^2}{4} \cdot \frac{tD}{2} \right) = - 2 \left( \frac{t^3 D^3}{24} - \frac{3t D^3}{24} \right) = \frac{t(3 - t^2)}{12} D^3$$

$D = \sqrt{b^2-4c}$ を戻して、

$$S = \frac{t(3 - t^2)}{12} (b^2 - 4c)^{\frac{3}{2}}$$

解説

解と係数の関係、および対称式を巧みに利用する代数計算・積分計算の問題である。 $r, s$ は一見複雑な式に見えるが、$p+q$ と $q-p$ を使って整理すると放物線の軸 $x = -\frac{b}{2}$ を中心に左右に $\frac{t(q-p)}{2}$ ずつ離れた点であることがわかる。これに気付けば、(1), (2) の式変形は非常に簡潔になる。 (3) の積分計算では、解法1のように真正面から展開して代入しても解けるが、項が多くなり計算ミスを誘発しやすい。解法2のように放物線の軸を原点に平行移動（$u = x + \frac{b}{2}$ と置換）させると、積分区間が原点対称になり、偶関数の性質を利用できるため計算量が劇的に減る。放物線と面積の問題では、軸を利用した平行移動（置換積分）が極めて有効なテクニックとなる。