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名古屋大学 1987年理系第2問解説

方針・初手

まずは $S_1(\theta)$ と $S_2(\theta)$ を $\theta$ の式として具体的に表すことから始める。図形的な特徴を利用して、直角三角形やおうぎ形の面積の公式から立式する。次に $S_1(\theta)$ と $S_2(\theta)$ の大小関係を調べ、$S(\theta)$ を場合分けして決定する。大小関係の境界となる角は具体的な値として求まらないため、$\alpha$ などの文字でおいて計算を進め、最後に三角比の相互関係を用いて値を求めるのが定石である。

解法1

$S_1(\theta)$ は、半径 $1$、中心角 $\theta$ のおうぎ形の面積であるから、

$$ S_1(\theta) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \theta = \frac{\theta}{2} $$

となる。

次に、$S_2(\theta)$ を求める。点 $P(\cos\theta, \sin\theta)$ を通り、曲線 $C$ に接する直線 $\ell$ の方程式は

$$ x \cos\theta + y \sin\theta = 1 $$

である。この直線 $\ell$ と $y$ 軸との交点を $Q$ とすると、その座標は $\left(0, \frac{1}{\sin\theta}\right)$ となる。また、曲線 $C$ と $y$ 軸との交点を $R(0, 1)$ とおく。 $S_2(\theta)$ は、直角三角形 $OPQ$ の面積から、おうぎ形 $OPR$ の面積を引いたものである。三角形 $OPQ$ の面積は、底辺を $OP = 1$、高さを $PQ = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ とみると、

$$ \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\cos\theta}{2\sin\theta} $$

である。おうぎ形 $OPR$ の面積は、中心角が $\frac{\pi}{2} - \theta$ であるから、

$$ \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2} $$

である。したがって、$S_2(\theta)$ は

$$ S_2(\theta) = \frac{\cos\theta}{2\sin\theta} - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) = \frac{\cos\theta}{2\sin\theta} - \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} $$

となる。

ここで、$S_1(\theta)$ と $S_2(\theta)$ の大小を比較するために、その差をとる。

$$ S_1(\theta) - S_2(\theta) = \frac{\theta}{2} - \left(\frac{\cos\theta}{2\sin\theta} - \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\cos\theta}{2\sin\theta} $$

$S_1(\theta) - S_2(\theta) = 0$ とすると、

$$ \frac{\cos\theta}{2\sin\theta} = \frac{\pi}{4} \iff \tan\theta = \frac{2}{\pi} $$

となる。$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ において $y = \tan\theta$ は単調増加であるから、$\tan\alpha = \frac{2}{\pi}$ を満たす角 $\alpha$ $\left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right)$ がただ一つ存在する。これを用いると、大小関係は次のように場合分けされる。

(i) $0 < \theta \le \alpha$ のとき $\tan\theta \le \tan\alpha = \frac{2}{\pi}$ より $\frac{\cos\theta}{2\sin\theta} \ge \frac{\pi}{4}$ となるから、$S_1(\theta) - S_2(\theta) \le 0$、すなわち $S_1(\theta) \le S_2(\theta)$ となる。よって、$S(\theta) = S_1(\theta) = \frac{\theta}{2}$ である。

(ii) $\alpha \le \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき $\tan\theta \ge \tan\alpha = \frac{2}{\pi}$ より $\frac{\cos\theta}{2\sin\theta} \le \frac{\pi}{4}$ となるから、$S_1(\theta) - S_2(\theta) \ge 0$、すなわち $S_1(\theta) \ge S_2(\theta)$ となる。よって、$S(\theta) = S_2(\theta) = \frac{\cos\theta}{2\sin\theta} - \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}$ である。

求める積分を $I$ とすると、積分区間を分けて次のように計算できる。

$$ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} S(\theta) \sin\theta d\theta = \int_0^\alpha \frac{\theta}{2} \sin\theta d\theta + \int_\alpha^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\cos\theta}{2\sin\theta} - \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) \sin\theta d\theta $$

第1項を $I_1$、第2項を $I_2$ としてそれぞれ部分積分を用いて計算する。

$$ I_1 = \int_0^\alpha \frac{\theta}{2} \sin\theta d\theta = \left[ -\frac{\theta}{2}\cos\theta \right]_0^\alpha - \int_0^\alpha \left(-\frac{1}{2}\cos\theta\right) d\theta = -\frac{\alpha}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha $$

$$ I_2 = \int_\alpha^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\pi}{4}\sin\theta + \frac{\theta}{2}\sin\theta \right) d\theta $$

$$ = \left[ \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\pi}{4}\cos\theta \right]_\alpha^{\frac{\pi}{2}} + \int_\alpha^{\frac{\pi}{2}} \frac{\theta}{2}\sin\theta d\theta $$

$$ = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{\pi}{4}\cos\alpha \right) + \left[ -\frac{\theta}{2}\cos\theta \right]_\alpha^{\frac{\pi}{2}} - \int_\alpha^{\frac{\pi}{2}} \left(-\frac{1}{2}\cos\theta\right) d\theta $$

$$ = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{\pi}{4}\cos\alpha \right) + \frac{\alpha}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\left( 1 - \sin\alpha \right) $$

$$ = 1 - \sin\alpha - \frac{\pi}{4}\cos\alpha + \frac{\alpha}{2}\cos\alpha $$

したがって、$I = I_1 + I_2$ より、

$$ I = \left( -\frac{\alpha}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha \right) + \left( 1 - \sin\alpha - \frac{\pi}{4}\cos\alpha + \frac{\alpha}{2}\cos\alpha \right) = 1 - \frac{1}{2}\sin\alpha - \frac{\pi}{4}\cos\alpha $$

となる。ここで、$\tan\alpha = \frac{2}{\pi}$ $\left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right)$ であるから、直角を挟む2辺の長さが $2$ と $\pi$ の直角三角形を考えると、斜辺の長さは $\sqrt{\pi^2 + 4}$ となる。ゆえに、

$$ \sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{\pi^2 + 4}}, \quad \cos\alpha = \frac{\pi}{\sqrt{\pi^2 + 4}} $$

である。これらを $I$ の式に代入して、

$$ I = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi^2 + 4}} - \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\pi}{\sqrt{\pi^2 + 4}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{\pi^2 + 4}} - \frac{\pi^2}{4\sqrt{\pi^2 + 4}} $$

$$ = 1 - \frac{4 + \pi^2}{4\sqrt{\pi^2 + 4}} = 1 - \frac{\sqrt{\pi^2 + 4}}{4} $$

を得る。

解説

図形的な考察から面積を立式し、関数同士の大小比較を行う問題である。面積の式 $S_2(\theta)$ を求める際に、図形の足し引きを適切に判断する力が必要となる。接線と座標軸で囲まれる三角形の面積は、底辺と高さを適切に選ぶことで簡潔に表すことができる。大小比較において、方程式 $\tan\theta = \frac{2}{\pi}$ を満たす $\theta$ の値が有名角にならないとき、自分で文字 $\alpha$ を設定して議論を進める手法は頻出かつ重要である。求めた $\alpha$ をそのまま積分計算の区間として持ち越し、計算の最後に三角比の図形的関係（または相互関係）から値を決定することで、見通しよく処理できる。積分計算における部分積分の正確な実行も問われている。