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名古屋大学 1989年理系第1問解説

方針・初手

2つの曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ がただ1つの点で交わり、その点で共通の接線をもつ（つまり接する）ための条件は、接点の $x$ 座標を $t$ とおいたとき、以下の連立方程式が成り立つことである。

$$ \begin{cases} f(t) = g(t) \\ f'(t) = g'(t) \end{cases} $$

この条件から接点 $t$ と定数 $a, b$ の関係を導く。(2)は(1)の結果から2つの曲線の式を確定させ、グラフの概形から求める面積を立式する。

解法1

(1)

$f(x) = ax^2$, $g(x) = \log x + b$ とおく。 $f'(x) = 2ax$, $g'(x) = \frac{1}{x}$ である。

2つの曲線が $x = t$ ($t > 0$) で交わり、共通の接線をもつとする。このとき、以下の2式が成り立つ。

$$ \begin{cases} at^2 = \log t + b & \cdots \text{①} \\ 2at = \frac{1}{t} & \cdots \text{②} \end{cases} $$

②より、$2at^2 = 1$ である。$t > 0$ であるから、$a > 0$ であり、$t^2 = \frac{1}{2a}$ となる。これを①に代入すると、

$$ b = a \cdot \frac{1}{2a} - \frac{1}{2}\log t^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\log \frac{1}{2a} $$

よって、$b$ を $a$ を用いて表すと、

$$ b = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log(2a) $$

となる。

(2)

$a = \frac{1}{2}$ のとき、(1)より

$$ b = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log \left( 2 \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\log 1 = \frac{1}{2} $$

である。

したがって、2つの曲線は $y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \log x + \frac{1}{2}$ であり、接点の $x$ 座標は $t^2 = \frac{1}{2(1/2)} = 1$、$t>0$ より $t=1$ である。接点の座標は $(1, \frac{1}{2})$ となる。

曲線 $y = \log x + \frac{1}{2}$ と $x$ 軸との交点を求める。

$$ \log x + \frac{1}{2} = 0 \iff \log x = -\frac{1}{2} \iff x = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} $$

求める面積は、曲線 $y = \frac{1}{2}x^2$ ($0 \le x \le 1$) と $x$ 軸、$x=1$ で囲まれた部分の面積から、曲線 $y = \log x + \frac{1}{2}$ ($\frac{1}{\sqrt{e}} \le x \le 1$) と $x$ 軸、$x=1$ で囲まれた部分の面積を引いたものに等しい。

よって、求める面積 $S$ は

$$ S = \int_{0}^{1} \frac{1}{2}x^2 dx - \int_{\frac{1}{\sqrt{e}}}^{1} \left( \log x + \frac{1}{2} \right) dx $$

となる。

第1項の定積分は、

$$ \int_{0}^{1} \frac{1}{2}x^2 dx = \left[ \frac{1}{6}x^3 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6} $$

である。

第2項の定積分は、部分積分を用いて計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{\frac{1}{\sqrt{e}}}^{1} \left( \log x + \frac{1}{2} \right) dx &= \int_{\frac{1}{\sqrt{e}}}^{1} (x)' \left( \log x + \frac{1}{2} \right) dx \\ &= \left[ x \left( \log x + \frac{1}{2} \right) \right]_{\frac{1}{\sqrt{e}}}^{1} - \int_{\frac{1}{\sqrt{e}}}^{1} x \cdot \frac{1}{x} dx \\ &= \left( 1 \cdot \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{\sqrt{e}} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) - \left[ x \right]_{\frac{1}{\sqrt{e}}}^{1} \\ &= \frac{1}{2} - 0 - \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) \\ &= -\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{e}} \end{aligned} $$

したがって、求める面積 $S$ は

$$ S = \frac{1}{6} - \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{e}} \right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{\sqrt{e}} $$

となる。

解法2

(2)の別解（$y$ 軸方向での積分）

(1)より2つの曲線は接点 $(1, \frac{1}{2})$ をもつ。各曲線の方程式を $x$ について解く。 $x > 0$ において、

$$ y = \frac{1}{2}x^2 \iff x^2 = 2y \iff x = \sqrt{2y} \quad \left(0 \le y \le \frac{1}{2}\right) $$

$$ y = \log x + \frac{1}{2} \iff \log x = y - \frac{1}{2} \iff x = e^{y - \frac{1}{2}} \quad \left(0 \le y \le \frac{1}{2}\right) $$

$0 \le y \le \frac{1}{2}$ において、$e^{y - \frac{1}{2}} \ge \sqrt{2y}$ であるから、求める面積 $S$ は $y$ 軸方向に積分して以下のように求められる。

$$ S = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( e^{y - \frac{1}{2}} - \sqrt{2y} \right) dy $$

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S &= \left[ e^{y - \frac{1}{2}} - \sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} \\ &= \left( e^{0} - \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}} \right) - \left( e^{-\frac{1}{2}} - 0 \right) \\ &= \left( 1 - \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \right) - e^{-\frac{1}{2}} \\ &= \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \frac{1}{\sqrt{e}} \\ &= \frac{2}{3} - \frac{1}{\sqrt{e}} \end{aligned} $$

となる。

解説

2つの曲線が「ただ1つの点で交わり、その交点で共通の接線をもつ」という条件の定式化がポイントである。交点の $x$ 座標を $t$ と置くことで、$f(t)=g(t)$ と $f'(t)=g'(t)$ の2本の式が立ち、未知数の決定ができる。

面積を求める際は、グラフの上下（または左右）の位置関係を把握することが重要である。(2)では、素直に $x$ 軸方向の積分を行って2つの図形の面積の差をとる解法1と、$y$ について解き直して $y$ 軸方向に積分する解法2がある。$y$ 軸方向の積分を用いると、立式が1つにまとまり計算の手間が省けるため、見通しが良くなる。