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名古屋大学 1992年理系第3問解説

方針・初手

$xy$ 平面上の点 $(x, y)$ が $x = u$、$y = (2 \sin u - 1)v$ と媒介変数表示されていると考えます。独立に動く変数 $u, v$ のうち、まずは $u$ を固定して考えます（つまり $x$ 座標を固定します）。$x = u$ を固定したときの $y$ のとりうる値の範囲を求め、それが $x$ 軸のどの範囲でどのように変化するかを調べて積分します。その際、$y$ の係数である $2 \sin u - 1$ の符号が $u$ の値によって変わることに注意して場合分けを行います。

解法1

図形 $S$ に属する点の座標を $(x, y)$ とすると、

$$ x = u $$

$$ y = (2 \sin u - 1)v $$

と表せる。条件より、

$$ 0 \leqq u \leqq \frac{\pi}{2} $$

$$ 0 \leqq v \leqq u $$

である。

まず、$u$ の値を $0 \leqq u \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲で固定する。このとき $x = u$ より $x$ も固定される。 $v$ が $0 \leqq v \leqq u$ の範囲を動くとき、$y = (2 \sin u - 1)v$ のとりうる値の範囲を考える。 $2 \sin u - 1$ の符号によって場合分けをする。

(i) $2 \sin u - 1 \leqq 0$ のとき

$0 \leqq u \leqq \frac{\pi}{2}$ より、$0 \leqq \sin u \leqq \frac{1}{2}$ であるから、

$$ 0 \leqq u \leqq \frac{\pi}{6} $$

である。このとき、$2 \sin u - 1 \leqq 0$ であるため、$0 \leqq v \leqq u$ の各辺に $2 \sin u - 1$ を掛けると、不等号の向きが反転し、

$$ u(2 \sin u - 1) \leqq (2 \sin u - 1)v \leqq 0 $$

すなわち、$x=u$ において、

$$ x(2 \sin x - 1) \leqq y \leqq 0 $$

となる。

(ii) $2 \sin u - 1 \geqq 0$ のとき

$0 \leqq u \leqq \frac{\pi}{2}$ より、$\frac{1}{2} \leqq \sin u \leqq 1$ であるから、

$$ \frac{\pi}{6} \leqq u \leqq \frac{\pi}{2} $$

である。このとき、$2 \sin u - 1 \geqq 0$ であるため、$0 \leqq v \leqq u$ の各辺に $2 \sin u - 1$ を掛けると、

$$ 0 \leqq (2 \sin u - 1)v \leqq u(2 \sin u - 1) $$

すなわち、$x=u$ において、

$$ 0 \leqq y \leqq x(2 \sin x - 1) $$

となる。

以上より、図形 $S$ は $x$ 軸を境界にして2つの部分に分かれ、求める面積を $A$ とすると、

$$ A = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left\{ 0 - x(2 \sin x - 1) \right\} dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \left\{ x(2 \sin x - 1) - 0 \right\} dx $$

となる。

ここで、不定積分 $\int x(2 \sin x - 1) dx$ を計算する。

$$ \int x \sin x dx = x(-\cos x) - \int 1 \cdot (-\cos x) dx = -x \cos x + \sin x + C $$

であることを用いて部分積分を行うと、

$$ \int x(2 \sin x - 1) dx = 2 \int x \sin x dx - \int x dx = -2x \cos x + 2 \sin x - \frac{1}{2}x^2 + C $$

となる。ここで、$G(x) = -2x \cos x + 2 \sin x - \frac{1}{2}x^2$ とおくと、

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} -x(2 \sin x - 1) dx = - \left[ G(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = - G\left(\frac{\pi}{6}\right) + G(0) $$

$$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} x(2 \sin x - 1) dx = \left[ G(x) \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} = G\left(\frac{\pi}{2}\right) - G\left(\frac{\pi}{6}\right) $$

ゆえに、面積 $A$ は

$$ A = G(0) + G\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2G\left(\frac{\pi}{6}\right) $$

と計算できる。それぞれの値を計算する。

$$ G(0) = 0 + 0 - 0 = 0 $$

$$ G\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 + 2 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 = 2 - \frac{\pi^2}{8} $$

$$ G\left(\frac{\pi}{6}\right) = -2 \cdot \frac{\pi}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\pi}{6}\right)^2 = -\frac{\sqrt{3}\pi}{6} + 1 - \frac{\pi^2}{72} $$

これらを代入して、

$$ A = 0 + \left( 2 - \frac{\pi^2}{8} \right) - 2 \left( -\frac{\sqrt{3}\pi}{6} + 1 - \frac{\pi^2}{72} \right) $$

$$ = 2 - \frac{\pi^2}{8} + \frac{\sqrt{3}\pi}{3} - 2 + \frac{\pi^2}{36} $$

$$ = \frac{\sqrt{3}\pi}{3} - \frac{9\pi^2}{72} + \frac{2\pi^2}{72} $$

$$ = \frac{\sqrt{3}\pi}{3} - \frac{7\pi^2}{72} $$

解説

パラメータ $u, v$ で表された領域の面積を求める問題です。変数が2つある場合は「一文字固定」が有効です。本問では $u$ を固定すると $x$ 座標が定数となるため、$v$ を動かしたときの $y$ 座標の動きを見ることで、直線 $x = u$ 上での線分の領域が得られます。この線分を $x$ 方向に積分（掃引）することで全体の面積が求まります。

$2 \sin u - 1$ の符号によって $y$ のとりうる範囲（線分の位置）が $x$ 軸の下側と上側で反転するため、符号が切り替わる境界を調べて積分区間を分割し、それぞれ面積が正になるように計算することに注意します。積分計算においては、部分積分法を用いてミスなく処理できるかがポイントとなります。