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名古屋大学 1998年理系第1問解説

方針・初手

点 $P$ における接線の方程式を求め、$x$ 軸との交点を明らかにする。面積 $S_2$ は対数関数の基本的な定積分（部分積分法）により求めることができる。面積 $S_1$ については、直角三角形の面積から $S_2$ を引く方法（$x$ 軸方向の積分に帰着）と、$y$ 軸方向の積分を利用する方法がある。 (2) は (1) で求めた結果を代入し、分母・分子を最も発散のスピードが速い項（この場合は $a(\log a)^2$ ）で割ることで極限を求める。

解法1

$f(x) = \log x$ とおく。$f'(x) = \frac{1}{x}$ である。点 $P(a, \log a)$ における接線 $l$ の方程式は、

$$y - \log a = \frac{1}{a}(x - a)$$

すなわち、

$$y = \frac{1}{a}x - 1 + \log a$$

接線 $l$ と $x$ 軸の交点を求める。$y = 0$ とすると、

$$\frac{1}{a}x = 1 - \log a$$

$$x = a(1 - \log a)$$

この交点を $Q(a(1 - \log a), 0)$ とおく。また、点 $H$ は点 $P$ から $x$ 軸へおろした垂線の足なので、$H(a, 0)$ である。 $PH$ の長さは $\log a$ である。

(1)

まず $S_2$ を求める。曲線 $y = \log x$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標は $x = 1$ である。 $S_2$ は曲線 $y = \log x$、$x$ 軸、$x = a$ で囲まれた図形の面積である。$a > 1$ より $1 \le x \le a$ において $\log x \ge 0$ であるから、

$$S_2 = \int_{1}^{a} \log x \, dx$$

$$S_2 = \Big[ x \log x - x \Big]_{1}^{a} = (a \log a - a) - (1 \cdot 0 - 1) = a \log a - a + 1$$

次に $S_1$ を求める。曲線 $y = \log x$ は上に凸であるから、接線 $l$ は接点 $P$ 以外の部分で曲線よりも上側にある。接線 $l$、$x$ 軸、および線分 $PH$ で囲まれた図形は、直角三角形 $PQH$ である。底辺 $QH$ の長さは、

$$a - a(1 - \log a) = a \log a$$

高さ $PH$ は $\log a$ であるから、三角形 $PQH$ の面積は、

$$\frac{1}{2} \cdot a \log a \cdot \log a = \frac{1}{2} a (\log a)^2$$

図の位置関係より、$S_1$ は三角形 $PQH$ の面積から $S_2$ を引いたものに等しい。

$$S_1 = \triangle PQH - S_2 = \frac{1}{2} a (\log a)^2 - (a \log a - a + 1)$$

$$S_1 = \frac{1}{2} a (\log a)^2 - a \log a + a - 1$$

(2)

求める極限は、$\lim_{a \to \infty} \frac{S_1}{S_2 \cdot PH}$ である。これに (1) の結果と $PH = \log a$ を代入する。

$$\frac{S_1}{S_2 \cdot PH} = \frac{\frac{1}{2} a (\log a)^2 - a \log a + a - 1}{(a \log a - a + 1) \log a}$$

$$= \frac{\frac{1}{2} a (\log a)^2 - a \log a + a - 1}{a (\log a)^2 - a \log a + \log a}$$

$a \to \infty$ の極限を考えるため、分母と分子を $a (\log a)^2$ で割る。

$$= \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{\log a} + \frac{1}{(\log a)^2} - \frac{1}{a (\log a)^2}}{1 - \frac{1}{\log a} + \frac{1}{a \log a}}$$

$a \to \infty$ のとき、$a \to \infty$ および $\log a \to \infty$ であるから、

$$\lim_{a \to \infty} \frac{1}{\log a} = 0, \quad \lim_{a \to \infty} \frac{1}{(\log a)^2} = 0, \quad \lim_{a \to \infty} \frac{1}{a \log a} = 0, \quad \lim_{a \to \infty} \frac{1}{a (\log a)^2} = 0$$

となる。したがって、求める極限は、

$$\lim_{a \to \infty} \frac{S_1}{S_2 \cdot PH} = \frac{\frac{1}{2} - 0 + 0 - 0}{1 - 0 + 0} = \frac{1}{2}$$

解法2

(1) における $S_1$ を $y$ 軸方向の積分で求める別解

面積 $S_1$ は、$y$ 軸方向の積分を用いて直接求めることもできる。曲線 $y = \log x$ を $x$ について解くと $x = e^y$ となる。また、接線 $l$ の方程式 $y = \frac{1}{a}x - 1 + \log a$ を $x$ について解くと、

$$x = a(y + 1 - \log a) = ay + a - a \log a$$

となる。

$S_1$ は $y = 0$ から $y = \log a$ までの範囲で囲まれている。 $x = e^y$ は下に凸な曲線であり、その接線は接点以外の部分で曲線よりも $x$ 軸の負の方向（左側）に位置する。すなわち、この範囲において常に $e^y \ge ay + a - a \log a$ である。

したがって、$S_1$ は次のように計算できる。

$$S_1 = \int_{0}^{\log a} \Big\{ e^y - (ay + a - a \log a) \Big\} \, dy$$

$$= \Bigg[ e^y - \frac{1}{2} a y^2 - (a - a \log a)y \Bigg]_{0}^{\log a}$$

$$= \Big\{ e^{\log a} - \frac{1}{2} a (\log a)^2 - (a - a \log a)\log a \Big\} - (e^0 - 0 - 0)$$

$e^{\log a} = a$ であるから、

$$= a - \frac{1}{2} a (\log a)^2 - a \log a + a (\log a)^2 - 1$$

$$= \frac{1}{2} a (\log a)^2 - a \log a + a - 1$$

解説

(1) では、微積分の基本的な計算力と図形の面積の捉え方が問われている。$x$ 軸方向で積分する場合は、接線と $x$ 軸と線分 $PH$ でできる直角三角形から、曲線下の面積をくり抜くという発想を持つと計算の負担が減る。一方、$y$ 軸方向の積分に切り替える視点を持てると、左右の関係がシンプルになり、1つの定積分で面積を求めきることができる。どちらの方針でも正確に計算できることが望ましい。

(2) は関数の極限の基本操作である。不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ となるため、分母・分子の中で最も早く無限大に発散する項（本問では $a(\log a)^2$）を見極め、それで括り出す（あるいは割る）ことで有限の極限値に持ち込む定石を用いる。