北海道大学 2007年 理系 第3問 解説

方針・初手

• (1)は曲線 $y=xe^x$ の定積分を計算して面積 $S_n$ を求め、極限をとる。積分区間において被積分関数は正であるため、そのまま定積分すればよい。
• (2)は $x$ 軸周りの回転体の体積 $V_n$ を円板型の積分 $\pi \int y^2 \,dx$ によって求め、極限を計算する。
• 面積・体積の計算では、ともに $x^k e^{ax}$ の形をした関数の定積分が現れるため、部分積分を繰り返し用いて計算する。極限計算においては、最高次数の項（ここでは $n$ の多項式部分）でくくり出して極限をとる定石を用いる。

解法1

(1)

$n$ は自然数であり、$n \leqq x \leqq n+1$ において $x > 0$ かつ $e^x > 0$ であるから、$y = x e^x > 0$ である。 したがって、図形 $D_n$ の面積 $S_n$ は次のように表される。

$$ S_n = \int_{n}^{n+1} xe^x \,dx $$

部分積分法を用いてこの不定積分を計算する。

$$ \int xe^x \,dx = \int x (e^x)' \,dx = xe^x - \int 1 \cdot e^x \,dx = (x-1)e^x + C \quad (C \text{ は積分定数}) $$

よって、$S_n$ は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} S_n &= \left[ (x-1)e^x \right]_{n}^{n+1} \\ &= n e^{n+1} - (n-1)e^n \\ &= (ne - n + 1)e^n \end{aligned} $$

求める極限は、分母分子を $n$ で割ることで次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{ne^n} &= \lim_{n\to\infty} \frac{(ne - n + 1)e^n}{ne^n} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{n(e - 1) + 1}{n} \\ &= \lim_{n\to\infty} \left( e - 1 + \frac{1}{n} \right) \\ &= e - 1 \end{aligned} $$

(2)

図形 $D_n$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積 $V_n$ は次のように表される。

$$ V_n = \pi \int_{n}^{n+1} (x e^x)^2 \,dx = \pi \int_{n}^{n+1} x^2 e^{2x} \,dx $$

部分積分法を用いて不定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int x^2 e^{2x} \,dx &= \int x^2 \left( \frac{1}{2} e^{2x} \right)' \,dx \\ &= \frac{1}{2} x^2 e^{2x} - \int 2x \cdot \frac{1}{2} e^{2x} \,dx \\ &= \frac{1}{2} x^2 e^{2x} - \int x e^{2x} \,dx \\ &= \frac{1}{2} x^2 e^{2x} - \left( \frac{1}{2} x e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} \,dx \right) \\ &= \frac{1}{2} x^2 e^{2x} - \frac{1}{2} x e^{2x} + \frac{1}{4} e^{2x} + C \\ &= \frac{1}{4} (2x^2 - 2x + 1) e^{2x} + C \quad (C \text{ は積分定数}) \end{aligned} $$

よって、$V_n$ は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} V_n &= \pi \left[ \frac{1}{4} (2x^2 - 2x + 1) e^{2x} \right]_{n}^{n+1} \\ &= \frac{\pi}{4} \left\{ (2(n+1)^2 - 2(n+1) + 1) e^{2(n+1)} - (2n^2 - 2n + 1) e^{2n} \right\} \\ &= \frac{\pi}{4} \left\{ (2n^2 + 4n + 2 - 2n - 2 + 1) e^2 \cdot e^{2n} - (2n^2 - 2n + 1) e^{2n} \right\} \\ &= \frac{\pi}{4} \left\{ (2n^2 + 2n + 1) e^2 - (2n^2 - 2n + 1) \right\} e^{2n} \end{aligned} $$

(1) より $S_n = \{ n(e-1) + 1 \} e^n$ であるから、$(S_n)^2$ は次のようになる。

$$ (S_n)^2 = \{ n(e-1) + 1 \}^2 e^{2n} = \left\{ n^2(e-1)^2 + 2n(e-1) + 1 \right\} e^{2n} $$

これらを用いて極限を計算する。分母分子にある $e^{2n}$ を約分し、その後分母分子を $n^2$ で割る。

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{V_n}{(S_n)^2} &= \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{\pi}{4} \left\{ (2n^2 + 2n + 1) e^2 - (2n^2 - 2n + 1) \right\} e^{2n}}{\left\{ n^2(e-1)^2 + 2n(e-1) + 1 \right\} e^{2n}} \\ &= \frac{\pi}{4} \lim_{n\to\infty} \frac{(2n^2 + 2n + 1) e^2 - (2n^2 - 2n + 1)}{n^2(e-1)^2 + 2n(e-1) + 1} \\ &= \frac{\pi}{4} \lim_{n\to\infty} \frac{\left( 2 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \right) e^2 - \left( 2 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \right)}{(e-1)^2 + \frac{2(e-1)}{n} + \frac{1}{n^2}} \\ &= \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2e^2 - 2}{(e-1)^2} \\ &= \frac{\pi}{2} \cdot \frac{e^2 - 1}{(e-1)^2} \\ &= \frac{\pi}{2} \cdot \frac{(e-1)(e+1)}{(e-1)^2} \\ &= \frac{\pi(e+1)}{2(e-1)} \end{aligned} $$

解説

• 多項式と指数関数の積である関数の定積分は、部分積分を繰り返し行うことで計算できる典型的な問題である。積分の計算ミスを防ぐために、本解法のように不定積分を一度計算してから代入する方法が安全である。
• 無限大に発散する項を含む式の極限では、「最も速く発散する項」を見極め、それで分母分子を割るのが定石である。本問の後半では $e^{2n}$ を約分した後、$n^2$ で分母分子を割ることで不定形を解消している。
• 最後の極限値の整理において、分子に現れた $e^2 - 1$ を $(e-1)(e+1)$ と因数分解し、分母の $(e-1)^2$ と約分することで、より簡潔な形にまとめることができる。

答え

(1) $$ e - 1 $$

(2) $$ \frac{\pi(e+1)}{2(e-1)} $$