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大阪大学 1999年理系第1問解説

方針・初手

(1) 2点 $P, Q$ が曲線 $C$ と直線 $l$ の交点であることから、$y_1, y_2$ をそれぞれ $x_1, x_2$ を用いて2通りに表すことができる。これらを連立させて $x_1$ （または $e^{x_1}$）を消去し、 $y_1, y_2$ を $a$ と $c$ で表す。

(2) 与えられた距離の条件から、$a$ と $c$ の関係式を導く。回転体の体積 $V(a)$ は定積分で求まるので、(1) の結果を用いて $a$ と $c$ の式で表す。極限を計算する際は、$a \to \infty$ を $c \to +0$ に置き換えて微分の定義式に帰着させると見通しがよい。

解法1

(1)

点 $P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2)$ は曲線 $C: y = e^x$ 上の点であるから、

$$ y_1 = e^{x_1}, \quad y_2 = e^{x_2} $$

が成り立つ。また、$P, Q$ は直線 $l: y = ax + b$ 上の点でもあるから、

$$ y_1 = ax_1 + b, \quad y_2 = ax_2 + b $$

が成り立つ。 $y_2 - y_1$ を2通りに表すと、直線の方程式から

$$ y_2 - y_1 = (ax_2 + b) - (ax_1 + b) = a(x_2 - x_1) $$

となり、$x_2 - x_1 = c$ より

$$ y_2 - y_1 = ac $$

を得る。一方で、曲線の方程式から

$$ y_2 - y_1 = e^{x_2} - e^{x_1} = e^{x_1+c} - e^{x_1} = e^{x_1}(e^c - 1) $$

を得る。これらが等しいので、

$$ e^{x_1}(e^c - 1) = ac $$

$a > 0$ かつ $x_1 < x_2$ より $c = x_2 - x_1 > 0$ であるため、$e^c - 1 > 0$ である。よって

$$ e^{x_1} = \frac{ac}{e^c - 1} $$

ゆえに、$y_1$ は

$$ y_1 = e^{x_1} = \frac{ac}{e^c - 1} $$

と表される。また、$y_2$ は

$$ y_2 = e^{x_2} = e^{x_1+c} = e^{x_1} \cdot e^c = \frac{ace^c}{e^c - 1} $$

と表される。

(2)

$P$ と $Q$ の距離が $1$ であるから、$PQ^2 = 1$ より

$$ (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = 1 $$

$x_2 - x_1 = c, \ y_2 - y_1 = ac$ を代入して

$$ c^2 + (ac)^2 = 1 $$

$$ c^2(1 + a^2) = 1 $$

$c > 0$ より、$a$ を用いて $c$ を表すと $c = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$ となる。この関係式から、$a \to \infty$ のとき $c \to +0$ である。

次に、回転体の体積 $V(a)$ を求める。

$$ V(a) = \pi \int_{x_1}^{x_2} (e^x)^2 dx = \pi \int_{x_1}^{x_2} e^{2x} dx $$

$$ V(a) = \pi \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{x_1}^{x_2} = \frac{\pi}{2} (e^{2x_2} - e^{2x_1}) = \frac{\pi}{2} (y_2^2 - y_1^2) $$

(1) の結果を用いると、

$$ y_2^2 - y_1^2 = (y_2 - y_1)(y_2 + y_1) = ac \left( \frac{ace^c}{e^c - 1} + \frac{ac}{e^c - 1} \right) = a^2 c^2 \frac{e^c + 1}{e^c - 1} $$

となるので、

$$ V(a) = \frac{\pi}{2} a^2 c^2 \frac{e^c + 1}{e^c - 1} $$

ここで、求める極限の式 $\frac{V(a)}{a}$ を $c$ で表すことを考える。 $c^2(1 + a^2) = 1$ より $a^2 = \frac{1 - c^2}{c^2}$ であり、$a > 0, c > 0$ だから $a = \frac{\sqrt{1 - c^2}}{c}$ である。したがって、

$$ \frac{V(a)}{a} = \frac{\pi}{2} ac^2 \frac{e^c + 1}{e^c - 1} = \frac{\pi}{2} \cdot c\sqrt{1 - c^2} \cdot \frac{e^c + 1}{e^c - 1} = \frac{\pi}{2} \sqrt{1 - c^2}(e^c + 1) \frac{c}{e^c - 1} $$

となる。$a \to \infty$ のとき $c \to +0$ であり、$\lim_{c \to 0} \frac{e^c - 1}{c} = 1$ すなわち $\lim_{c \to 0} \frac{c}{e^c - 1} = 1$ であるから、

$$ \lim_{a \to \infty} \frac{V(a)}{a} = \lim_{c \to +0} \frac{\pi}{2} \sqrt{1 - c^2}(e^c + 1) \frac{c}{e^c - 1} = \frac{\pi}{2} \cdot \sqrt{1 - 0} \cdot (1 + 1) \cdot 1 = \pi $$

解説

(1)は交点条件の立式である。指数関数と直線の交点という代数的に解けない方程式が現れるが、$x_2 - x_1 = c$ という条件があるため、「差をとる」ことでうまく $b$ が消え、$y_1, y_2$ を $a, c$ のみで表すことができる。

(2)では極限計算が主眼となる。極限 $\lim_{a \to \infty}$ を計算する際、$a$ のまま式を処理すると計算が煩雑になる。距離の条件から $a$ と $c$ の関係式が簡潔に得られ、$a \to \infty$ が $c \to +0$ に対応することから、変数を $c$ に統一して微分の定義式 $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ の形に帰着させるのが定石である。