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名古屋大学 2000年理系第5問解説

方針・初手

(1) は、実数係数の方程式が虚数解をもつとき、その共役複素数も解となるという重要な性質の証明です。方程式に解を代入し、両辺の共役をとることで示します。 (2) は、解と係数の関係と複素数平面における正三角形の幾何的性質を組み合わせて解きます。実軸対称な頂点を持つ正三角形は、実軸上にある重心を中心とする外接円を考えることで、$(x-c)^3 = \pm 1$ の形に帰着させるアプローチが非常に有効です。または、成分で設定して代数的に解くことも可能です。

解法1

(1)

$\alpha$ は実数係数の3次方程式 $x^3 + px^2 + qx + r = 0$ の解であるから、

$$ \alpha^3 + p\alpha^2 + q\alpha + r = 0 $$

が成り立つ。この両辺の共役複素数をとると、実数 $p, q, r$ と 0 は共役をとっても変わらないため、

$$ \overline{\alpha^3 + p\alpha^2 + q\alpha + r} = \overline{0} $$

$$ (\overline{\alpha})^3 + p(\overline{\alpha})^2 + q(\overline{\alpha}) + r = 0 $$

となる。これは $x = \overline{\alpha}$ もまた方程式 $x^3 + px^2 + qx + r = 0$ の解であることを示している。 $\alpha$ は虚数解であるから $\overline{\alpha} \neq \alpha$ であり、$\overline{\alpha}$ も虚数である。方程式の解は $\alpha, \beta, \gamma$ の3つのみであり、このうち $\gamma$ は実数解であるため $\gamma = \overline{\gamma}$ となり、虚数 $\overline{\alpha}$ とは一致しない。したがって、$\overline{\alpha}$ は残るもう一つの虚数解 $\beta$ と一致する。ゆえに、$\beta = \overline{\alpha}$ が成り立つ。

(2)

(1) より、$\alpha$ と $\beta$ は実軸に関して対称な点である。また、$\gamma$ は実数であるから実軸上の点である。したがって、これら3点を頂点とする正三角形は実軸に関して対称な図形となり、その重心（外心と一致）は実軸上に存在する。この重心を表す実数を $c$ とおく。

3次方程式の解と係数の関係より、

$$ \alpha + \beta + \gamma = -p $$

$$ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q $$

$$ \alpha\beta\gamma = -r $$

が成り立つ。条件より $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 3$ であるから、$q = 3$ である。また、重心 $c$ の位置は解の平均で表されるため、

$$ c = \frac{\alpha + \beta + \gamma}{3} = -\frac{p}{3} $$

となる。 1辺の長さが $\sqrt{3}$ の正三角形の外接円の半径を $R$ とすると、正弦定理より $2R = \frac{\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 2$ となり、$R = 1$ である。したがって、3点 $\alpha, \beta, \gamma$ は点 $c$ を中心とする半径 $1$ の円周上にあり、互いに中心角 $120^\circ$ をなす位置にある。実軸対称性より、実軸上の点 $\gamma$ は重心 $c$ から実軸に沿って距離 $1$ だけ離れた点であるから、$\gamma = c + 1$ または $\gamma = c - 1$ である。

(i) $\gamma = c + 1$ のとき 3点 $\alpha, \beta, \gamma$ は、1の3乗根が表す正三角形を実軸方向に $c$ だけ平行移動したものである。すなわち、これら3数は方程式 $(x - c)^3 = 1^3 = 1$ の解である。これを展開すると、

$$ x^3 - 3cx^2 + 3c^2x - c^3 - 1 = 0 $$

これが元の方程式 $x^3 + px^2 + qx + r = 0$ と一致するから、各項の係数を比較して、

$$ \begin{cases} p = -3c \\ q = 3c^2 \\ r = -c^3 - 1 \end{cases} $$

$q = 3$ より $3c^2 = 3$ となり、$c = \pm 1$ を得る。 $c = 1$ のとき、$p = -3, r = -2$。 $c = -1$ のとき、$p = 3, r = 0$。

(ii) $\gamma = c - 1$ のとき 3点 $\alpha, \beta, \gamma$ は、$-1$ の3乗根が表す正三角形を実軸方向に $c$ だけ平行移動したものである。これら3数は方程式 $(x - c)^3 = -1$ の解であり、展開すると、

$$ x^3 - 3cx^2 + 3c^2x - c^3 + 1 = 0 $$

係数を比較して、

$$ \begin{cases} p = -3c \\ q = 3c^2 \\ r = -c^3 + 1 \end{cases} $$

$q = 3$ より同様に $c = \pm 1$ を得る。 $c = 1$ のとき、$p = -3, r = 0$。 $c = -1$ のとき、$p = 3, r = 2$。

以上より、求める実数の組 $(p, q, r)$ は4組存在する。

解法2

(2)の別解（複素数を成分でおく方法）

$\alpha, \beta$ は互いに共役な虚数であるから、実数 $a, b$ ($b \neq 0$) を用いて $\alpha = a + bi, \beta = a - bi$ とおける。線分 $\alpha\beta$ の長さは正三角形の1辺の長さに等しいから、

$$ |\alpha - \beta| = |2bi| = 2|b| = \sqrt{3} $$

となり、$b = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。すなわち $\alpha, \beta = a \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$ である。実軸上の点 $\gamma$ から線分 $\alpha\beta$（その中点は $a$）までの距離は、正三角形の高さに等しい。 1辺 $\sqrt{3}$ の正三角形の高さは $\frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} = \frac{3}{2}$ であるから、

$$ |\gamma - a| = \frac{3}{2} $$

となり、$\gamma = a + \frac{3}{2}$ または $\gamma = a - \frac{3}{2}$ である。与えられた条件 $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 3$ について、左辺を計算する。

$$ \alpha\beta = a^2 + b^2 = a^2 + \frac{3}{4} $$

$$ \beta\gamma + \gamma\alpha = \gamma(\alpha + \beta) = \gamma(2a) = 2a\gamma $$

これらを代入して整理すると、

$$ a^2 + 2a\gamma + \frac{3}{4} = 3 $$

$$ a^2 + 2a\gamma - \frac{9}{4} = 0 $$

となる。

(i) $\gamma = a + \frac{3}{2}$ のとき上式に代入して、

$$ a^2 + 2a\left(a + \frac{3}{2}\right) - \frac{9}{4} = 0 $$

$$ 3a^2 + 3a - \frac{9}{4} = 0 $$

$$ 4a^2 + 4a - 3 = 0 $$

$$ (2a - 1)(2a + 3) = 0 $$

よって、$a = \frac{1}{2}, -\frac{3}{2}$ を得る。 $a = \frac{1}{2}$ のとき、$\gamma = 2$。解と係数の関係より、 $p = -(\alpha + \beta + \gamma) = -(2a + \gamma) = -3$ $r = -\alpha\beta\gamma = -\left(a^2 + b^2\right)\gamma = -1 \times 2 = -2$ $(p, q, r) = (-3, 3, -2)$ $a = -\frac{3}{2}$ のとき、$\gamma = 0$。 $p = -(2a + \gamma) = 3$ $r = -\left(a^2 + b^2\right)\gamma = 0$ $(p, q, r) = (3, 3, 0)$

(ii) $\gamma = a - \frac{3}{2}$ のとき同様に代入して、

$$ a^2 + 2a\left(a - \frac{3}{2}\right) - \frac{9}{4} = 0 $$

$$ 4a^2 - 4a - 3 = 0 $$

$$ (2a + 1)(2a - 3) = 0 $$

よって、$a = -\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ を得る。 $a = -\frac{1}{2}$ のとき、$\gamma = -2$。 $p = -(2a + \gamma) = 3$ $r = -\left(a^2 + b^2\right)\gamma = -1 \times (-2) = 2$ $(p, q, r) = (3, 3, 2)$ $a = \frac{3}{2}$ のとき、$\gamma = 0$。 $p = -(2a + \gamma) = -3$ $r = -\left(a^2 + b^2\right)\gamma = 0$ $(p, q, r) = (-3, 3, 0)$

解説

(1) は実数係数多項式における虚数解のペアに関する基本的な証明です。解の共役性を自明とせず、共役をとる操作によって答案として成立させる流れは頻出です。 (2) は図形的な特徴をどう数式に落とし込むかがポイントです。解法2のように実部と虚部で成分表示しても計算量はそれほど膨らみませんが、解法1のように「実軸対称な正三角形の頂点は、実軸上の重心を中心とする円の3等分点」と見抜き、$(x-c)^3 = \pm 1$ の形を利用すると、計算ミスを防ぐとともに非常にスマートに解くことができます。