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名古屋大学 2001年理系第2問解説

方針・初手

被積分関数に含まれる絶対値 $|t-x|$ を外すことから始める。積分変数は $t$ であり、積分区間は $0 \le t \le \pi$ である。したがって、$t$ と $x$ の大小関係が変わる境界である $x$ が区間 $[0, \pi]$ に含まれるかどうかで場合分けを行う。

解法1

$f(x) = \int_0^\pi \sin\left(|t-x| + \frac{\pi}{4}\right) dt$ について、定義域 $0 \le x \le 2\pi$ において場合分けをする。

(i) $0 \le x \le \pi$ のとき積分区間 $0 \le t \le \pi$ は、$0 \le t \le x$ と $x \le t \le \pi$ に分割される。 $0 \le t \le x$ のとき $t - x \le 0$ より $|t - x| = x - t$ $x \le t \le \pi$ のとき $t - x \ge 0$ より $|t - x| = t - x$ となるため、$f(x)$ は次のように計算できる。

$$ f(x) = \int_0^x \sin\left(x - t + \frac{\pi}{4}\right) dt + \int_x^\pi \sin\left(t - x + \frac{\pi}{4}\right) dt $$

それぞれの定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_0^x \sin\left(x - t + \frac{\pi}{4}\right) dt &= \left[ \cos\left(x - t + \frac{\pi}{4}\right) \right]_0^x \\ &= \cos\frac{\pi}{4} - \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_x^\pi \sin\left(t - x + \frac{\pi}{4}\right) dt &= \left[ -\cos\left(t - x + \frac{\pi}{4}\right) \right]_x^\pi \\ &= -\cos\left(\pi - x + \frac{\pi}{4}\right) + \cos\frac{\pi}{4} \\ &= -\cos\left(\frac{5\pi}{4} - x\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} $$

ここで、$\cos\left(\frac{5\pi}{4} - x\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4} - x\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = -\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ である。これらを用いて $f(x)$ を整理する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= \sqrt{2} - \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \\ &= \sqrt{2} - \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x \right) + \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x \right) \\ &= \sqrt{2} + \sqrt{2}\sin x \end{aligned} $$

(ii) $\pi < x \le 2\pi$ のとき積分区間 $0 \le t \le \pi$ において、常に $t < x$ である。したがって、$t - x < 0$ より常に $|t - x| = x - t$ となるため、$f(x)$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} f(x) &= \int_0^\pi \sin\left(x - t + \frac{\pi}{4}\right) dt \\ &= \left[ \cos\left(x - t + \frac{\pi}{4}\right) \right]_0^\pi \\ &= \cos\left(x - \pi + \frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \end{aligned} $$

ここで、$\cos\left(x - \pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(x + \frac{\pi}{4} - \pi\right) = -\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ であるから、

$$ \begin{aligned} f(x) &= -2\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \\ &= -2\left( \cos x \cos\frac{\pi}{4} - \sin x \sin\frac{\pi}{4} \right) \\ &= \sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\cos x \\ &= 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \end{aligned} $$

以上より、$f(x)$ の最大値と最小値を各区間で調べる。

(i) $0 \le x \le \pi$ のとき $f(x) = \sqrt{2}(\sin x + 1)$ $0 \le x \le \pi$ の範囲で $\sin x$ は $0 \le \sin x \le 1$ と変化する。 $x = \frac{\pi}{2}$ のとき、最大値 $2\sqrt{2}$ $x = 0, \pi$ のとき、最小値 $\sqrt{2}$ をとる。

(ii) $\pi < x \le 2\pi$ のとき $f(x) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ $\pi < x \le 2\pi$ より、偏角の範囲は $\frac{3\pi}{4} < x - \frac{\pi}{4} \le \frac{7\pi}{4}$ である。この範囲において $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ は $x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ すなわち $x = \frac{7\pi}{4}$ のとき、最小値 $-1$ をとる。よって、この区間での最小値は $2 \times (-1) = -2$ である。また、上限は $x \to \pi + 0$ のときの $\sqrt{2}$ であり、最大値は存在しない。

(i) と (ii) の結果を合わせると、区間全体 $[0, 2\pi]$ における最大値と最小値は以下のようになる。

最大値: $2\sqrt{2}$ （$x = \frac{\pi}{2}$ のとき）最小値: $-2$ （$x = \frac{7\pi}{4}$ のとき）

解説

絶対値を含む関数の定積分は、積分変数（本問では $t$）について絶対値記号の中身の符号が変わる点で積分区間を分割するのが鉄則である。$x$ は定積分において定数扱いであるため、$x$ の値が積分区間 $[0, \pi]$ の内にあるか外にあるかで場合分けが生じる。加法定理や合成を用いて式を整理することで、増減表を書かずとも最大・最小を容易に求めることができる。