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名古屋大学 1986年文系第1問解説

方針・初手

$n$ 乗の行列を成分ごとに評価する問題です。 (1) は、行列の積が交換可能であること（$A^{n} A = A A^{n}$）を利用すると鮮やかに示せます。もちろん、数学的帰納法を用いても問題ありません。 (2) は、(1) の結果を利用して成分に関する連立漸化式を立てて解く方法が最も自然です。その他にも、固有値を用いた行列の対角化を利用する汎用的なアプローチが可能です。

解法1

(1)

与えられた行列を $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ とおく。

$A^{n+1} = A A^n = A^n A$ が成り立つため、以下が成立する。

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n & c_n \\ b_n & d_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_n & c_n \\ b_n & d_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $$

両辺の行列の積を計算すると、

$$ \begin{pmatrix} a_n + 2b_n & c_n + 2d_n \\ 2a_n + b_n & 2c_n + d_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_n + 2c_n & 2a_n + c_n \\ b_n + 2d_n & 2b_n + d_n \end{pmatrix} $$

両辺の各成分を比較する。

$(1, 1)$ 成分より、

$$ a_n + 2b_n = a_n + 2c_n $$

よって、$b_n = c_n$ である。

$(1, 2)$ 成分より、

$$ c_n + 2d_n = 2a_n + c_n $$

よって、$a_n = d_n$ である。（これは $(2, 1)$ 成分や $(2, 2)$ 成分を比較しても同様に得られる）

以上より、$a_n = d_n$ および $b_n = c_n$ が示された。

(2)

(1) の結果より、$A^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ b_n & a_n \end{pmatrix}$ と書ける。

$A^{n+1} = A A^n$ より、

$$ \begin{pmatrix} a_{n+1} & b_{n+1} \\ b_{n+1} & a_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ b_n & a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_n + 2b_n & b_n + 2a_n \\ 2a_n + b_n & 2b_n + a_n \end{pmatrix} $$

各成分を比較して、以下の連立漸化式を得る。

$$ \begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2b_n \quad \cdots ① \\ b_{n+1} = 2a_n + b_n \quad \cdots ② \end{cases} $$

① $+$ ② より、

$$ a_{n+1} + b_{n+1} = 3(a_n + b_n) $$

また、$A^1 = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ b_1 & a_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ であるから、$a_1 = 1, b_1 = 2$ である。

よって、数列 $\{a_n + b_n\}$ は初項 $a_1 + b_1 = 3$、公比 $3$ の等比数列となる。

$$ a_n + b_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n \quad \cdots ③ $$

次に、① $-$ ② より、

$$ a_{n+1} - b_{n+1} = -(a_n - b_n) $$

よって、数列 $\{a_n - b_n\}$ は初項 $a_1 - b_1 = 1 - 2 = -1$、公比 $-1$ の等比数列となる。

$$ a_n - b_n = -1 \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^n \quad \cdots ④ $$

③ $+$ ④ より、

$$ 2a_n = 3^n + (-1)^n $$

したがって、求める $a_n$ は、

$$ a_n = \frac{3^n + (-1)^n}{2} $$

解法2

(1)

数学的帰納法を用いて示す。

(I) $n=1$ のとき

$$ \begin{pmatrix} a_1 & c_1 \\ b_1 & d_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $$

よって、$a_1 = 1, d_1 = 1$ より $a_1 = d_1$ であり、$b_1 = 2, c_1 = 2$ より $b_1 = c_1$ である。したがって、$n=1$ のときは成り立つ。

(II) $n=k$ ($k$ は自然数) のとき成り立つと仮定する。

すなわち、$a_k = d_k, b_k = c_k$ と仮定する。このとき、行列は $\begin{pmatrix} a_k & b_k \\ b_k & a_k \end{pmatrix}$ と表せる。

$n=k+1$ のとき、

$$ \begin{pmatrix} a_{k+1} & c_{k+1} \\ b_{k+1} & d_{k+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^{k+1} $$

$$ = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^k $$

$$ = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_k & b_k \\ b_k & a_k \end{pmatrix} $$

$$ = \begin{pmatrix} a_k + 2b_k & b_k + 2a_k \\ 2a_k + b_k & 2b_k + a_k \end{pmatrix} $$

これより、

$$ \begin{aligned} a_{k+1} &= a_k + 2b_k \\ c_{k+1} &= 2a_k + b_k \\ b_{k+1} &= 2a_k + b_k \\ d_{k+1} &= a_k + 2b_k \end{aligned} $$

よって、$a_{k+1} = d_{k+1}$ かつ $b_{k+1} = c_{k+1}$ が成り立つ。したがって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(I), (II) より、すべての自然数 $n$ について $a_n = d_n, b_n = c_n$ が示された。

(2)

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ を対角化して $A^n$ を求める。

$A$ の固有方程式は、単位行列を $E$ とすると、

$$ |A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)^2 - 4 = 0 $$

$$ \lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0 $$

$$ (\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0 $$

よって、固有値は $\lambda = 3, -1$ である。

(i) $\lambda = 3$ のとき

$$ (A - 3E) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

これより $x - y = 0$ となるため、固有ベクトルの一つとして $\vec{p_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ をとる。

(ii) $\lambda = -1$ のとき

$$ (A + E) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

これより $x + y = 0$ となるため、固有ベクトルの一つとして $\vec{p_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ をとる。

ここで、行列 $P = \begin{pmatrix} \vec{p_1} & \vec{p_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ とおくと、$P$ の逆行列は、

$$ P^{-1} = \frac{1}{-1 - 1} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$

これにより、$A$ は次のように対角化される。

$$ P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

両辺を $n$ 乗すると、

$$ (P^{-1} A P)^n = P^{-1} A^n P = \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} $$

左から $P$、右から $P^{-1}$ を掛けて $A^n$ について解く。

$$ A^n = P \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} P^{-1} $$

$$ = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$

$$ = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n & (-1)^n \\ 3^n & -(-1)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$

$$ = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n + (-1)^n & 3^n - (-1)^n \\ 3^n - (-1)^n & 3^n + (-1)^n \end{pmatrix} $$

$A^n = \begin{pmatrix} a_n & c_n \\ b_n & d_n \end{pmatrix}$ の $(1, 1)$ 成分を比較して、

$$ a_n = \frac{3^n + (-1)^n}{2} $$

解説

行列の $n$ 乗に関する標準的な問題です。(1) の証明は数学的帰納法が確実ですが、行列の交換法則 $A^{n} A = A A^{n}$ に気づくと非常に短時間で処理できます。 (2) は連立漸化式を立てて解く方法（解法1）が、(1) の誘導にも乗っており、計算量も少なく最も推奨される方針です。一方、固有値と固有ベクトルを用いた対角化（解法2）は、誘導がない場合でも汎用的に使える強力な手法であり、確実に身につけておきたい解法です。