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名古屋大学 2004年理系第2問解説

方針・初手

(1) は3変数の連立一次方程式です。式の数が3つ、変数が3つですが、右辺に定数 $a, b, c$ が含まれています。1つの文字を消去して残りの式の関係を調べることで、方程式が矛盾なく解を持つための $a, b, c$ の条件を導きます。その後、1つの変数をパラメータ（任意定数）として残りの変数を表します。

(2) は、(1) で求めた解（空間内の直線を表します）と、方程式 (ii)（原点を中心とする球面を表します）がただ一つの共通点を持つ（接する）という条件を扱います。代数的に2次方程式の判別式を利用する方法と、幾何的に「接点を通る半径ベクトルと直線の方向ベクトルが垂直になる」ことを利用する方法があります。

解法1

(1)

与えられた方程式 (i) を以下のように置く。

$$ \begin{cases} x + y - 2z = 3a \quad \dots \text{①} \\ 2x - y - z = 3b \quad \dots \text{②} \\ x - 5y + 4z = 3c \quad \dots \text{③} \end{cases} $$

①と②から $y$ を消去するため、①＋②を計算する。

$$ 3x - 3z = 3a + 3b $$

$$ x - z = a + b \quad \dots \text{④} $$

②と③から $y$ を消去するため、② $\times 5$ －③を計算する。

$$ 10x - 5y - 5z - (x - 5y + 4z) = 15b - 3c $$

$$ 9x - 9z = 15b - 3c $$

$$ 3(x - z) = 5b - c \quad \dots \text{⑤} $$

方程式 (i) が解を持つためには、④と⑤が矛盾なく成り立つ必要がある。④より $3(x - z) = 3(a + b)$ であるから、これを⑤と比較して

$$ 3(a + b) = 5b - c $$

$$ 3a - 2b + c = 0 $$

これが求める条件である。

この条件が成り立つとき、④より $z$ を $x$ で表すと

$$ z = x - a - b $$

これを①に代入して $y$ について解くと

$$ x + y - 2(x - a - b) = 3a $$

$$ -x + y + 2a + 2b = 3a $$

$$ y = x + a - 2b $$

これらの $y, z$ は③も満たす（条件 $3a - 2b + c = 0$ を用いれば確認できる）。よって、任意の実数 $t$ を用いて $x = t$ とおくと、方程式 (i) の解は次のように表せる。

$$ (x, y, z) = (t, t + a - 2b, t - a - b) $$

(2)

(1) で求めた (i) の解を、(ii) $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ に代入する。

$$ t^2 + (t + a - 2b)^2 + (t - a - b)^2 = 1 $$

展開して $t$ について整理する。

$$ t^2 + \{t^2 + 2(a - 2b)t + (a - 2b)^2\} + \{t^2 - 2(a + b)t + (a + b)^2\} = 1 $$

$$ 3t^2 + 2(a - 2b - a - b)t + (a^2 - 4ab + 4b^2) + (a^2 + 2ab + b^2) - 1 = 0 $$

$$ 3t^2 - 6bt + 2a^2 - 2ab + 5b^2 - 1 = 0 \quad \dots \text{⑥} $$

方程式 (i) と (ii) がただ一つの共通解をもつとき、この $t$ についての2次方程式 ⑥ がただ一つの実数解（重解）をもつ。 ⑥の判別式を $D$ とすると、$D = 0$ であるから

$$ \frac{D}{4} = (-3b)^2 - 3(2a^2 - 2ab + 5b^2 - 1) = 0 $$

$$ 9b^2 - 6a^2 + 6ab - 15b^2 + 3 = 0 $$

$$ -6a^2 + 6ab - 6b^2 + 3 = 0 $$

$$ 2a^2 - 2ab + 2b^2 = 1 \quad \dots \text{⑦} $$

このとき、方程式 ⑥ の重解 $t$ は

$$ t = \frac{-(-3b)}{3} = b $$

したがって、ただ一つの共通解 $(x, y, z)$ は、(1) の解に $t = b$ を代入して

$$ x = b $$

$$ y = b + a - 2b = a - b $$

$$ z = b - a - b = -a $$

となる。これらの $x, y$ を $2x^2 + 2xy + 2y^2$ に代入すると

$$ 2b^2 + 2b(a - b) + 2(a - b)^2 $$

$$ = 2b^2 + 2ab - 2b^2 + 2(a^2 - 2ab + b^2) $$

$$ = 2ab + 2a^2 - 4ab + 2b^2 $$

$$ = 2a^2 - 2ab + 2b^2 $$

⑦より $2a^2 - 2ab + 2b^2 = 1$ であるから

$$ 2x^2 + 2xy + 2y^2 = 1 $$

が成り立つことが示された。

解法2

(2) の別解

(1) より、方程式 (i) を満たす $(x, y, z)$ は、空間座標における直線をなす。この直線をパラメータ $t$ を用いてベクトルで表すと

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ a - 2b \\ -a - b \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

これより、直線 (i) の方向ベクトルは $\vec{d} = (1, 1, 1)$ である。一方、方程式 (ii) は原点 $\text{O}(0, 0, 0)$ を中心とする半径 $1$ の球面を表す。

直線 (i) と球面 (ii) がただ一つの共通解を持つということは、直線が球面に接するということである。この接点を $\text{P}(x, y, z)$ とすると、接点を通る半径ベクトル $\vec{\text{OP}}$ と直線の方向ベクトル $\vec{d}$ は直交する。したがって、$\vec{\text{OP}} \cdot \vec{d} = 0$ が成り立つ。

$$ x \cdot 1 + y \cdot 1 + z \cdot 1 = 0 $$

$$ z = -x - y $$

また、接点 $\text{P}$ は球面 (ii) 上の点であるから

$$ x^2 + y^2 + z^2 = 1 $$

これに $z = -x - y$ を代入して整理すると

$$ x^2 + y^2 + (-x - y)^2 = 1 $$

$$ x^2 + y^2 + x^2 + 2xy + y^2 = 1 $$

$$ 2x^2 + 2xy + 2y^2 = 1 $$

ゆえに、ただ一つの共通解 $(x, y, z)$ が $2x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ をみたすことが示された。

解説

(2) では「直線と球面の接点」という幾何学的な意味を読み取れるかどうかが鍵となります。解法1のように式をすべて代入して2次方程式の判別式を利用する代数的なアプローチは、どのような問題にも通用する確実な方法です。一方で、解法2のように「球面と直線が接するとき、中心から接点に下ろしたベクトルと直線の方向ベクトルが直交する」という性質を利用すると、複雑な文字式の計算を大幅に省略し、見通しよく証明することができます。