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名古屋大学 2011年理系第4問解説

方針・初手

2次方程式が整数解をもつという条件から、解と係数の関係を用いて整数問題に帰着させる。

解を文字で置き、それらが整数であることを利用して方程式を満たす組を絞り込む。特に、$a, b$ が正であることから、解の符号を決定できることに着目して不等式による絞り込みを行うのが定石である。

解法1

(1)

$x^2 + ax + b = 0$ と $y^2 + by + a = 0$ において $a = b$ とすると、どちらも $x^2 + ax + a = 0$ となる。

この方程式が整数解をもつとする。その整数解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$$ \begin{cases} \alpha + \beta = -a \\ \alpha \beta = a \end{cases} $$

が成り立つ。これらから $a$ を消去すると、

$$ \alpha \beta = -(\alpha + \beta) $$

$$ \alpha \beta + \alpha + \beta = 0 $$

$$ (\alpha + 1)(\beta + 1) = 1 $$

$\alpha, \beta$ は整数であるから、$\alpha + 1, \beta + 1$ も整数である。

かけて $1$ になる整数の組は $(1, 1), (-1, -1)$ のみであるため、

$$ (\alpha + 1, \beta + 1) = (1, 1), (-1, -1) $$

すなわち、

$$ (\alpha, \beta) = (0, 0), (-2, -2) $$

$a = \alpha \beta$ であるから、$a = 0$ または $a = 4$。

条件 $a \geqq b > 0$ より $a > 0$ であるから、$a = 4$ である。

（このとき、$x^2+4x+4=0 \iff (x+2)^2=0$ より $x=-2$ となり、確かに整数解をもつ。）

(2)

$x^2 + ax + b = 0$ の整数解を $\alpha, \beta$ とおくと、解と係数の関係より

$$ \begin{cases} \alpha + \beta = -a \\ \alpha \beta = b \end{cases} $$

条件より $a > 0, b > 0$ であるから、$\alpha \beta > 0$ より $\alpha, \beta$ は同符号であり、$\alpha + \beta < 0$ より $\alpha, \beta$ はともに負の整数である。

同様に、$y^2 + by + a = 0$ の整数解を $\gamma, \delta$ とおくと、

$$ \begin{cases} \gamma + \delta = -b \\ \gamma \delta = a \end{cases} $$

となり、$\gamma, \delta$ もともに負の整数である。

ここで、$a > b$ であるから、

$$ -(\alpha + \beta) > \alpha \beta $$

$$ \alpha \beta + \alpha + \beta < 0 $$

$$ (\alpha + 1)(\beta + 1) < 1 $$

$\alpha, \beta$ は負の整数であるから、$\alpha \leqq -1, \beta \leqq -1$ より $\alpha + 1 \leqq 0, \beta + 1 \leqq 0$ である。

したがって $(\alpha + 1)(\beta + 1) \geqq 0$ となる。

これが $(\alpha + 1)(\beta + 1) < 1$ を満たすには、整数の積であるから

$$ (\alpha + 1)(\beta + 1) = 0 $$

でなければならない。

これより $\alpha = -1$ または $\beta = -1$ を得る。対称性より $\beta = -1$ としても一般性を失わない。

このとき、

$$ b = \alpha \beta = -\alpha $$

$$ a = -(\alpha + \beta) = -\alpha + 1 = b + 1 $$

よって、$a = b + 1$ となる。

これを $\gamma, \delta$ の関係式に代入すると、

$$ \begin{cases} \gamma + \delta = -b \\ \gamma \delta = b + 1 \end{cases} $$

辺々を加えると $b$ が消去され、

$$ \gamma \delta + \gamma + \delta = 1 $$

$$ (\gamma + 1)(\delta + 1) = 2 $$

$\gamma, \delta$ は負の整数であるから、$\gamma + 1 \leqq 0, \delta + 1 \leqq 0$ である。

かけて $2$ になる負の整数の組は $(-1, -2), (-2, -1)$ のみである。

$\gamma \leqq \delta$ とすると、

$$ (\gamma + 1, \delta + 1) = (-2, -1) $$

$$ (\gamma, \delta) = (-3, -2) $$

このとき、

$$ b = -(\gamma + \delta) = -(-3 - 2) = 5 $$

$$ a = b + 1 = 6 $$

となり、これらは $a > b > 0$ を満たす。

以上より、求める整数の組は $(a, b) = (6, 5)$ である。

解説

2次方程式の整数解問題における王道である「解と係数の関係」を用いて、文字式を整数問題に帰着させる解法が有効である。

(1) は定数項と1次の係数が一致することから、$(\text{文字} + \text{整数})(\text{文字} + \text{整数}) = \text{整数}$ の形を作り出す典型的な処理である。

(2) は $a > b$ という不等式条件を $\alpha, \beta$ の関係式に翻訳し、不等式で絞り込みを行うのが最大のポイントである。$\alpha, \beta$ が負の整数であるという性質が強力に働き、$(\alpha + 1)(\beta + 1) = 0$ という決定的な条件が導かれる。片方の変数が $-1$ に確定することで、もう一方の解と係数の関係に持ち込む道筋が開ける。