大阪大学 2009年 理系 第3問 解説

方針・初手

与えられた条件式を展開し、$\alpha$ が満たす方程式 $\alpha^2 = 2\alpha + 1$ を用いて $\alpha$ の一次式に次数下げを行う。その後、「有理数 $A, B$ について $A+B\alpha=0$ ならば $A=0$ かつ $B=0$ である」という無理数の相等の性質を利用して、整数 $a, b, c$ に関する連立方程式を導き、未知数を絞り込んでいく。

解法1

$\alpha$ は2次方程式 $x^2-2x-1=0$ の解であるから、

$$ \alpha^2 = 2\alpha + 1 $$

が成り立つ。また、解の公式より $\alpha = 1 \pm \sqrt{2}$ であり、$\sqrt{2}$ は無理数であるから $\alpha$ も無理数である。

与えられた等式 $(a+5\alpha)(b+5c\alpha) = 1$ の左辺を展開すると、

$$ ab + 5ac\alpha + 5b\alpha + 25c\alpha^2 = 1 $$

$\alpha^2 = 2\alpha + 1$ を代入して整理する。

$$ \begin{aligned} ab + 5\alpha(ac+b) + 25c(2\alpha + 1) &= 1 \\ (ab + 25c - 1) + 5(ac + b + 10c)\alpha &= 0 \end{aligned} $$

$a, b, c$ は整数であるから、$ab+25c-1$ と $5(ac+b+10c)$ はともに有理数である。$\alpha$ が無理数であるため、この等式が成り立つ条件は、

$$ \begin{cases} ab + 25c - 1 = 0 & \cdots \text{(1)} \\ ac + b + 10c = 0 & \cdots \text{(2)} \end{cases} $$

式(2)より、

$$ b = -c(a+10) $$

これを式(1)に代入する。

$$ \begin{aligned} a\{-c(a+10)\} + 25c - 1 &= 0 \\ -c(a^2 + 10a - 25) &= 1 \end{aligned} $$

$a, c$ は整数であるから、$c$ と $a^2+10a-25$ も整数である。積が $1$ となる整数の組は $(1, 1), (-1, -1)$ のみである。

(i)

$c = 1$ かつ $a^2+10a-25 = -1$ のとき

$$ \begin{aligned} a^2 + 10a - 24 &= 0 \\ (a+12)(a-2) &= 0 \end{aligned} $$

より、$a = -12, 2$。 $a = -12$ のとき、$b = -1 \cdot (-12+10) = 2$。 $a = 2$ のとき、$b = -1 \cdot (2+10) = -12$。

(ii)

$c = -1$ かつ $a^2+10a-25 = 1$ のとき

$$ a^2 + 10a - 26 = 0 $$

解の公式より $a = -5 \pm \sqrt{51}$ となり、これは整数ではないため不適である。

以上より、求める整数の組は $(a, b, c) = (-12, 2, 1), (2, -12, 1)$ である。

解法2

$\alpha = 1 \pm \sqrt{2}$ であるが、どちらの複号をとっても同様の議論が成り立つため、ここでは $\alpha = 1+\sqrt{2}$ とする。このとき、共役な無理数 $\bar{\alpha} = 1-\sqrt{2}$ を考える。

有理数係数の等式 $(a+5\alpha)(b+5c\alpha) = 1$ が成り立つとき、両辺の共役をとることで、

$$ (a+5\bar{\alpha})(b+5c\bar{\alpha}) = 1 $$

が成り立つ。これら2つの等式を辺々掛け合わせる。

$$ (a+5\alpha)(a+5\bar{\alpha}) \cdot (b+5c\alpha)(b+5c\bar{\alpha}) = 1 $$

ここで、解と係数の関係より $\alpha+\bar{\alpha} = 2, \alpha\bar{\alpha} = -1$ であるから、

$$ \begin{aligned} (a+5\alpha)(a+5\bar{\alpha}) &= a^2 + 5a(\alpha+\bar{\alpha}) + 25\alpha\bar{\alpha} \\ &= a^2 + 10a - 25 \end{aligned} $$

同様に、

$$ (b+5c\alpha)(b+5c\bar{\alpha}) = b^2 + 10bc - 25c^2 $$

したがって、元の積の等式は次のように書ける。

$$ (a^2 + 10a - 25)(b^2 + 10bc - 25c^2) = 1 $$

$a, b, c$ は整数であるから、各因数も整数である。よって、

$$ \begin{cases} a^2 + 10a - 25 = 1 \\ b^2 + 10bc - 25c^2 = 1 \end{cases} \quad \text{または} \quad \begin{cases} a^2 + 10a - 25 = -1 \\ b^2 + 10bc - 25c^2 = -1 \end{cases} $$

(i)

$a^2 + 10a - 25 = 1$ のとき

$$ a^2 + 10a - 26 = 0 $$

となり、整数解 $a$ を持たない。

(ii)

$a^2 + 10a - 25 = -1$ のとき

$$ a^2 + 10a - 24 = 0 $$

より $(a+12)(a-2) = 0$ となり、$a = -12, 2$ である。

$a = 2$ のとき、与式は $(2+5\alpha)(b+5c\alpha) = 1$ となる。

$$ b+5c\alpha = \frac{1}{2+5\alpha} = \frac{1}{2+5(1+\sqrt{2})} = \frac{1}{7+5\sqrt{2}} $$

分母を有理化すると、

$$ b+5c\alpha = \frac{7-5\sqrt{2}}{49-50} = -7 + 5\sqrt{2} $$

$\sqrt{2} = \alpha - 1$ を代入して $\alpha$ の式に戻すと、

$$ b+5c\alpha = -7 + 5(\alpha - 1) = -12 + 5\alpha $$

有理数部分と無理数部分の係数を比較して、$b = -12, 5c = 5$ より $c=1$ を得る。

$a = -12$ のとき、与式は $(-12+5\alpha)(b+5c\alpha) = 1$ となる。

$$ b+5c\alpha = \frac{1}{-12+5\alpha} = \frac{1}{-12+5(1+\sqrt{2})} = \frac{1}{-7+5\sqrt{2}} $$

分母を有理化すると、

$$ b+5c\alpha = \frac{-7-5\sqrt{2}}{49-50} = 7 + 5\sqrt{2} $$

$\sqrt{2} = \alpha - 1$ を代入すると、

$$ b+5c\alpha = 7 + 5(\alpha - 1) = 2 + 5\alpha $$

有理数部分と無理数部分の係数を比較して、$b = 2, 5c = 5$ より $c=1$ を得る。

以上より、$(a, b, c) = (-12, 2, 1), (2, -12, 1)$。

解説

• 本問は、「有理数 $A, B$ について $A+B\sqrt{2}=0$ ならば $A=B=0$」という無理数の相等に関する基本性質を用いる整数問題である。
• 解法1のように、条件式をそのまま展開し、高次の項である $\alpha^2$ を $\alpha^2=2\alpha+1$ を用いて一次式に次数下げする処理が定石である。
• 解法2では、代数的数の共役（ノルム）の概念を用いている。有理係数の多項式であれば共役無理数に対しても同じ関係が成り立つことを利用しており、式変形が対称的になって見通しよく解き進めることができる。入試数学においてしばしば有効な強力な手法である。

答え

$$ (a, b, c) = (-12, 2, 1), (2, -12, 1) $$