名古屋大学 2021年 理系 第4問 解説

方針・初手

ガウス記号 $[x]$ は、「$x$ 以下の最大の整数」を表すため、$m \leqq x < m+1$ を満たす整数 $m$ が $[x]$ の値となる。この定義から、任意の実数 $x$ に対して $[x] \leqq x < [x]+1$ が成り立つ。 本問の漸化式には $\left[ a_n + \frac{1}{2} \right]$ が含まれているため、$a_n$ の小数部分（すなわち $a_n - [a_n]$）が $\frac{1}{2}$ 未満か、$\frac{1}{2}$ 以上かによってガウス記号の値が変わることに着目して場合分けを行う。

解法1

(1)

$x = a_1 = a$、 $y = a_2$ とおく。 条件 $0 \leqq a < 1$ より、 $x$ の変域は $0 \leqq x < 1$ である。 与えられた漸化式より、

$$ y = 3 \left[ x + \frac{1}{2} \right] - 2x $$

$x$ の範囲によって $\left[ x + \frac{1}{2} \right]$ の値が変わるため、場合分けをする。

(i) $0 \leqq x < \frac{1}{2}$ のとき $\frac{1}{2} \leqq x + \frac{1}{2} < 1$ であるから、 $\left[ x + \frac{1}{2} \right] = 0$ となる。 したがって、 $y = 3 \cdot 0 - 2x = -2x$

(ii) $\frac{1}{2} \leqq x < 1$ のとき $1 \leqq x + \frac{1}{2} < \frac{3}{2}$ であるから、 $\left[ x + \frac{1}{2} \right] = 1$ となる。 したがって、 $y = 3 \cdot 1 - 2x = -2x + 3$

以上より、求める軌跡は $xy$ 平面上の以下の2つの線分（端点の一部を除く）である。

• 線分 $y = -2x$ $\left( 0 \leqq x < \frac{1}{2} \right)$
• 線分 $y = -2x + 3$ $\left( \frac{1}{2} \leqq x < 1 \right)$

（点 $(0, 0)$ 、 $\left( \frac{1}{2}, 2 \right)$ は含み、点 $\left( \frac{1}{2}, -1 \right)$ 、 $(1, 1)$ は含まない）

(2)

ガウス記号の定義より、常に $[a_n] \leqq a_n < [a_n] + 1$ が成り立つ。 仮定 $a_n - [a_n] \geqq \frac{1}{2}$ を用いると、 $a_n$ の範囲は

$$ [a_n] + \frac{1}{2} \leqq a_n < [a_n] + 1 $$

各辺に $\frac{1}{2}$ を加えると、

$$ [a_n] + 1 \leqq a_n + \frac{1}{2} < [a_n] + \frac{3}{2} $$

$[a_n]$ は整数であるから、この不等式より $a_n + \frac{1}{2}$ の整数部分は $[a_n] + 1$ であることがわかる。すなわち、

$$ \left[ a_n + \frac{1}{2} \right] = [a_n] + 1 $$

これを漸化式に代入すると、

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= 3 \left( [a_n] + 1 \right) - 2a_n \\ &= 3[a_n] - 2a_n + 3 \end{aligned} $$

ここで、 $a_{n+1} - a_n$ を計算する。

$$ \begin{aligned} a_{n+1} - a_n &= \left( 3[a_n] - 2a_n + 3 \right) - a_n \\ &= 3 \left( [a_n] - a_n \right) + 3 \end{aligned} $$

仮定 $a_n - [a_n] \geqq \frac{1}{2}$ より $[a_n] - a_n \leqq -\frac{1}{2}$ であるから、

$$ \begin{aligned} a_{n+1} - a_n &\geqq 3 \left( -\frac{1}{2} \right) + 3 \\ &= \frac{3}{2} > 0 \end{aligned} $$

したがって、 $a_n < a_{n+1}$ であることが示された。

(3)

(2)で示された命題「$a_n - [a_n] \geqq \frac{1}{2} \implies a_n < a_{n+1}$」の対偶をとると、「$a_n \geqq a_{n+1} \implies a_n - [a_n] < \frac{1}{2}$」となる。 本問の仮定は $a_n > a_{n+1}$ であるため、当然 $a_n \geqq a_{n+1}$ を満たし、ゆえに $a_n - [a_n] < \frac{1}{2}$ が成り立つ。 これとガウス記号の定義を合わせると、

$$ [a_n] \leqq a_n < [a_n] + \frac{1}{2} $$

各辺に $\frac{1}{2}$ を加えると、

$$ [a_n] + \frac{1}{2} \leqq a_n + \frac{1}{2} < [a_n] + 1 $$

これより、 $\left[ a_n + \frac{1}{2} \right] = [a_n]$ となる。これを漸化式に代入して、

$$ a_{n+1} = 3[a_n] - 2a_n $$

が示された。 次に、 $[a_{n+1}]$ について考える。上で得られた $a_{n+1}$ の式を、不等式 $[a_n] \leqq a_n < [a_n] + \frac{1}{2}$ を用いて評価する。 各辺を $-2$ 倍すると、

$$ -2[a_n] - 1 < -2a_n \leqq -2[a_n] $$

各辺に $3[a_n]$ を加えると、

$$ [a_n] - 1 < 3[a_n] - 2a_n \leqq [a_n] $$

すなわち、 $[a_n] - 1 < a_{n+1} \leqq [a_n]$ となる。 ここで、 $a_{n+1} = [a_n]$ となるのは $a_n = [a_n]$ のときのみであるが、このとき $a_{n+1} = a_n$ となり、仮定 $a_n > a_{n+1}$ に矛盾する。 よって $a_n \neq [a_n]$ であり、厳密な不等式 $[a_n] - 1 < a_{n+1} < [a_n]$ が成り立つ。 $[a_n] - 1$ と $[a_n]$ は連続する整数であるため、 $a_{n+1}$ の整数部分は $[a_n] - 1$ である。 したがって、 $[a_{n+1}] = [a_n] - 1$ が示された。

(4)

条件 $a_1 > a_2 > \cdots > a_k$ より、任意の自然数 $i \quad (1 \leqq i \leqq k-1)$ に対して $a_i > a_{i+1}$ が成り立つ。 したがって、(3)の結果より以下の2式が成り立つ。

$$ a_{i+1} = 3[a_i] - 2a_i $$

$$ [a_{i+1}] = [a_i] - 1 $$

$a_1 = a$ $\left( 0 \leqq a < 1 \right)$ より、 $[a_1] = 0$ である。 漸化式 $[a_{i+1}] = [a_i] - 1$ は公差 $-1$ の等差数列を表すため、

$$ [a_i] = [a_1] - (i - 1) = -(i - 1) $$

これを $a_{i+1} = 3[a_i] - 2a_i$ に代入すると、 $a_i$ に関する隣接2項間漸化式が得られる。

$$ a_{i+1} = 3 \left( -i + 1 \right) - 2a_i = -2a_i - 3i + 3 $$

この漸化式を変形して一般項を求める。 $a_{i+1} + p(i+1) + q = -2(a_i + pi + q)$ とおいて展開し、係数を比較すると $p=1$ 、 $q=-\frac{4}{3}$ となるため、次のように変形できる。

$$ a_{i+1} + (i + 1) - \frac{4}{3} = -2 \left( a_i + i - \frac{4}{3} \right) $$

よって、数列 $\left\{ a_i + i - \frac{4}{3} \right\}$ は、初項が $a_1 + 1 - \frac{4}{3} = a - \frac{1}{3}$ 、公比が $-2$ の等比数列である。

$$ a_i + i - \frac{4}{3} = \left( a - \frac{1}{3} \right) (-2)^{i-1} $$

これを $a_i$ について解くと、

$$ a_i = \left( a - \frac{1}{3} \right) (-2)^{i-1} - i + \frac{4}{3} $$

これが $1 \leqq i \leqq k$ で成り立つため、 $i=k$ を代入して求める式を得る。

解説

ガウス記号を含む漸化式の典型的な問題である。ガウス記号の定義式 $m \leqq x < m+1$ に立ち返り、 $x$ の取り得る範囲を絞り込んでいく論証力が問われる。 (2)で「ある条件を満たせば数列が増加する」ことを示し、(3)で「数列が減少するならば別の強力な条件が成り立つ（(2)の対偶）」ことを示す流れが美しい誘導となっている。 (4)では、(3)で得られた連立漸化式を解くことになるが、$[a_i]$ の一般項が容易に求まるため、実質的には $n$ の1次式を含む非斉次の隣接2項間漸化式を解く標準的な計算問題に帰着される。

答え

(1) 点 $(0, 0)$ と点 $\left( \frac{1}{2}, -1 \right)$ を結ぶ線分（点 $\left( \frac{1}{2}, -1 \right)$ は除く）および、点 $\left( \frac{1}{2}, 2 \right)$ と点 $(1, 1)$ を結ぶ線分（点 $(1, 1)$ は除く）。

(2) $$ a_n-[a_n]\geqq \frac{1}{2}\ \Longrightarrow\ a_n<a_{n+1} $$

(3) $$ a_n>a_{n+1}\ \Longrightarrow\ a_{n+1}=3[a_n]-2a_n,\quad [a_{n+1}]=[a_n]-1 $$

(4) $a_k = \left( a - \frac{1}{3} \right) (-2)^{k-1} - k + \frac{4}{3}$