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北海道大学 2022年文系第2問解説

方針・初手

漸化式 $a_{n+1} - a_n = f(n)$ が与えられているため、階差数列の性質を利用する。 (1) は階差 $a_{n+1} - a_n$ の符号を調べることで、数列 $\{a_n\}$ の増減を把握する。 (2) は階差数列から一般項を求める定石の計算を行う。 (3) は和 $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ の増減を考える。$S_{n} - S_{n-1} = a_n$ であることから、各項 $a_n$ の符号を調べればよい。

解法1

(1)

与えられた漸化式より、数列 $\{a_n\}$ の階差数列は $\frac{n}{5} - 2$ である。これを用いて $a_{n+1} - a_n$ の符号を調べる。

$$ a_{n+1} - a_n = \frac{n}{5} - 2 = \frac{n - 10}{5} $$

したがって、階差の符号は以下のようになる。

$n \leqq 9$ のとき、$a_{n+1} - a_n < 0$ より $a_{n+1} < a_n$

$n = 10$ のとき、$a_{n+1} - a_n = 0$ より $a_{11} = a_{10}$

$n \geqq 11$ のとき、$a_{n+1} - a_n > 0$ より $a_{n+1} > a_n$

これより、数列 $\{a_n\}$ の各項の大小関係は次のようになる。

$$ a_1 > a_2 > \cdots > a_{10} = a_{11} < a_{12} < a_{13} < \cdots $$

よって、$a_n$ が最小となる自然数 $n$ は $10, 11$ である。

(2)

$n \geqq 2$ のとき、階差数列を利用して $a_n$ を求める。

$$ \begin{aligned} a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{k}{5} - 2 \right) \\ &= -15 + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}(n-1)n - 2(n-1) \\ &= -15 + \frac{1}{10}(n^2 - n) - 2n + 2 \\ &= \frac{1}{10}(n^2 - n - 20n - 130) \\ &= \frac{n^2 - 21n - 130}{10} \end{aligned} $$

この式に $n=1$ を代入すると、

$$ \frac{1^2 - 21 \cdot 1 - 130}{10} = \frac{-150}{10} = -15 $$

となり、$a_1 = -15$ と一致するため、$n=1$ のときも成り立つ。したがって、求める一般項は以下の通りである。

$$ a_n = \frac{n^2 - 21n - 130}{10} $$

(3)

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ とおく。 $S_n$ の増減を調べるために、$n \geqq 2$ における $S_n - S_{n-1} = a_n$ の符号を考える。 (2) の結果より、$a_n = \frac{(n+5)(n-26)}{10}$ と因数分解できる。 $n$ は自然数であるから $n+5 > 0$ であり、$a_n$ の符号は $n-26$ の符号と一致する。

$n \leqq 25$ のとき、$a_n < 0$

$n = 26$ のとき、$a_{26} = 0$

$n \geqq 27$ のとき、$a_n > 0$

数列 $\{S_n\}$ は、$a_n < 0$ である間は減少し、$a_n > 0$ となると増加に転じる。

$$ S_n - S_{n-1} = a_n $$

であるから、以下の関係が成り立つ。

$n \leqq 25$ のとき、$S_n < S_{n-1}$

$n = 26$ のとき、$S_{26} = S_{25}$

$n \geqq 27$ のとき、$S_n > S_{n-1}$

これより、数列 $\{S_n\}$ の各項の大小関係は次のようになる。

$$ S_1 > S_2 > \cdots > S_{25} = S_{26} < S_{27} < S_{28} < \cdots $$

よって、$\sum_{k=1}^n a_k$ が最小となる自然数 $n$ は $25, 26$ である。

解説

階差数列の基本的な扱い方と、数列の項やその和の増減を調べる典型問題である。数列の項 $a_n$ の増減は階差 $a_{n+1} - a_n$ の符号から、和 $S_n$ の増減は階差 $S_{n} - S_{n-1} = a_n$ の符号からそれぞれ把握できる。連続する2項の差が $0$ になる瞬間がある場合、最小値をとる $n$ が2つ存在することに注意して丁寧に場合分けを行いたい。