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北海道大学 1997年理系第3問解説

方針・初手

漸化式 $a_{n+1} = p a_n + p^{-n}$ は、$n$ に依存する項 $p^{-n}$ を含むため、両辺を $p^{n+1}$ で割ることで階差数列の形に帰着させるのが定石です。これにより $p$ の値に関わらず見通しよく解き進めることができます。

解法1

与えられた漸化式 $a_{n+1} = p a_n + p^{-n}$ の両辺を $p^{n+1}$ で割ると、

$$ \frac{a_{n+1}}{p^{n+1}} = \frac{a_n}{p^n} + \frac{1}{p^{2n+1}} $$

となります。ここで、$b_n = \frac{a_n}{p^n}$ とおくと、

$$ b_{n+1} = b_n + \frac{1}{p}\left(\frac{1}{p^2}\right)^n $$

となり、数列 $\{b_n\}$ の初項は $b_1 = \frac{a_1}{p} = \frac{1}{p}$ です。

(1) $|p|=1$ のとき

$p^2=1$ であるから、数列 $\{b_n\}$ の漸化式は

$$ b_{n+1} = b_n + \frac{1}{p} $$

となります。これより、数列 $\{b_n\}$ は初項 $\frac{1}{p}$、公差 $\frac{1}{p}$ の等差数列であると分かります。よって、

$$ b_n = \frac{1}{p} + (n-1)\frac{1}{p} = \frac{n}{p} $$

したがって、求める数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$$ a_n = p^n b_n = p^n \cdot \frac{n}{p} = n p^{n-1} $$

となります。

(2) $|p| \neq 1$ のとき

$p^2 \neq 1$ であるから、数列 $\{b_n\}$ の階差数列が $\frac{1}{p}\left(\frac{1}{p^2}\right)^n$ となります。$n \geqq 2$ のとき、

$$ b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{p}\left(\frac{1}{p^2}\right)^k $$

$$ b_n = \frac{1}{p} + \frac{1}{p} \cdot \frac{\frac{1}{p^2}\left\{1 - \left(\frac{1}{p^2}\right)^{n-1}\right\}}{1 - \frac{1}{p^2}} $$

第2項の分母分子に $p^2$ を掛けて整理すると、

$$ b_n = \frac{1}{p} + \frac{1}{p} \cdot \frac{1 - p^{-2n+2}}{p^2 - 1} $$

$$ b_n = \frac{1}{p} \left( \frac{p^2 - 1 + 1 - p^{-2n+2}}{p^2 - 1} \right) $$

$$ b_n = \frac{p^2 - p^{-2n+2}}{p(p^2 - 1)} = \frac{p - p^{-2n+1}}{p^2 - 1} $$

この式において $n=1$ とすると $b_1 = \frac{p - p^{-1}}{p^2 - 1} = \frac{1}{p}$ となり、$n=1$ の場合も成り立ちます。したがって、求める数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$$ a_n = p^n b_n = p^n \cdot \frac{p - p^{-2n+1}}{p^2 - 1} = \frac{p^{n+1} - p^{-n+1}}{p^2 - 1} $$

となります。

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ を求めます。

(i) $|p| = 1$ のとき

(1) の結果より $a_n = n p^{n-1}$ であるから、

$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)p^n}{n p^{n-1}} = \frac{n+1}{n} p = \left( 1 + \frac{1}{n} \right) p $$

となります。$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n} \to 0$ であるため、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = p $$

(ii) $|p| \neq 1$ のとき

(2) の結果より $a_n = \frac{p}{p^2 - 1}(p^n - p^{-n})$ であるから、

$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{p}{p^2 - 1}(p^{n+1} - p^{-n-1})}{\frac{p}{p^2 - 1}(p^n - p^{-n})} = \frac{p^{n+1} - p^{-n-1}}{p^n - p^{-n}} $$

となります。

(ア) $|p| > 1$ のとき

$\lim_{n \to \infty} p^{-n} = 0$ となるため、分母分子を $p^n$ のまま扱うか、または分母分子を $p^n$ で割ることで極限を調べます。

$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{p - p^{-2n-1}}{1 - p^{-2n}} $$

よって、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{p - 0}{1 - 0} = p $$

(イ) $0 < |p| < 1$ のとき

$\lim_{n \to \infty} p^n = 0$ となるため、分母分子に $p^n$ を掛けて極限を調べます。

$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{p^{2n+1} - p^{-1}}{p^{2n} - 1} $$

よって、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{0 - p^{-1}}{0 - 1} = \frac{1}{p} $$

解法2

漸化式を特性方程式のように変形して等比数列に帰着させる別解です。

$a_{n+1} = p a_n + p^{-n}$ について、ある定数 $c$ を用いて

$$ a_{n+1} - c p^{-(n+1)} = p (a_n - c p^{-n}) $$

の形に変形できるか考えます。上式を展開すると、

$$ a_{n+1} = p a_n + c p^{-n-1} - c p^{-n+1} = p a_n + c \left( \frac{1 - p^2}{p} \right) p^{-n} $$

となります。元の漸化式と比較すると、

$$ c \left( \frac{1 - p^2}{p} \right) = 1 $$

を満たせばよいことが分かります。

(2) $|p| \neq 1$ のとき

$1-p^2 \neq 0$ であるため、$c = \frac{p}{1-p^2}$ と定まります。これにより、数列 $\left\{ a_n - \frac{p}{1-p^2} p^{-n} \right\}$ は、初項が

$$ a_1 - \frac{p}{1-p^2} p^{-1} = 1 - \frac{1}{1-p^2} = \frac{-p^2}{1-p^2} $$

であり、公比が $p$ の等比数列となります。よって、

$$ a_n - \frac{p}{1-p^2} p^{-n} = \frac{-p^2}{1-p^2} p^{n-1} = \frac{-p^{n+1}}{1-p^2} $$

$$ a_n = \frac{-p^{n+1}}{1-p^2} + \frac{p^{-n+1}}{1-p^2} = \frac{p^{n+1} - p^{-n+1}}{p^2 - 1} $$

(1) $|p| = 1$ のとき

(i) $p = 1$ のとき

元の漸化式は $a_{n+1} = a_n + 1$ となり、初項 $1$、公差 $1$ の等差数列であるから $a_n = n$ となります。

(ii) $p = -1$ のとき

元の漸化式は $a_{n+1} = -a_n + (-1)^n$ となります。両辺に $(-1)^{n+1}$ を掛けると、

$$ (-1)^{n+1} a_{n+1} = (-1)^{n+2} a_n - 1 = (-1)^n a_n - 1 $$

数列 $\{(-1)^n a_n\}$ は初項 $(-1)^1 a_1 = -1$、公差 $-1$ の等差数列であるから、

$$ (-1)^n a_n = -1 + (n-1)(-1) = -n $$

よって、$a_n = -n (-1)^{-n} = n (-1)^{n-1}$ となります。 (i), (ii) をまとめると、$|p|=1$ のとき $a_n = n p^{n-1}$ と表せます。

解説

指数関数を含む漸化式 $a_{n+1} = p a_n + f(n)$ の典型的な処理を問う問題です。解法1のように両辺を $p^{n+1}$ で割って階差数列に帰着させる方針は、場合分けの必要性が途中式から自然と判明するため、最も安全で堅実な解法です。解法2のように等比数列に帰着させる方針も鮮やかですが、$|p|=1$ のときは分母が $0$ になるため、この変形自体が行えなくなります。本問で (1) と (2) の場合分けが誘導として与えられているのはこのためです。 (3) の極限計算では、「分母の項のうち、影響力が最も大きい（底の絶対値が最大の）もので分母分子を割る」という数列の極限の基本原則に従い、絶対値で場合分けを行います。