東京大学 2000年 理系 第3問 解説

方針・初手

（1）は、与えられた漸化式の両辺を $f_n(kh)f_n((k+1)h)$ で割ることで $p_k$ の漸化式を導出する。 （2）は、（1）の結果を用いてネイピア数 $e$ の定義式に関わる極限を計算する。 （3）は、得られた関数 $g(x)$ に各 $c$ の値を代入し、導関数を求めて増減や極限、漸近線を調べる。

解法1

(1)

与えられた方程式の第2式

$$ \frac{f_n((k+1)h) - f_n(kh)}{h} = \{1 - f_n(kh)\}f_n((k+1)h) $$

の両辺を $f_n(kh)f_n((k+1)h)$ で割ると、

$$ \frac{1}{h} \left\{ \frac{1}{f_n(kh)} - \frac{1}{f_n((k+1)h)} \right\} = \frac{1}{f_n(kh)} - 1 $$

となる。

ここで $p_k = \frac{1}{f_n(kh)}$ より、

$$ \frac{p_k - p_{k+1}}{h} = p_k - 1 $$

が成り立つ。これを $p_{k+1}$ について整理すると、

$$ \begin{aligned} p_{k+1} &= p_k - h(p_k - 1) \\ &= (1 - h)p_k + h \end{aligned} $$

となる。この漸化式を変形すると、

$$ p_{k+1} - 1 = (1 - h)(p_k - 1) $$

となり、数列 $\{p_k - 1\}$ は公比 $1 - h$ の等比数列であることがわかる。

初項は、第1式 $f_n(0) = c$ より

$$ p_0 - 1 = \frac{1}{f_n(0)} - 1 = \frac{1 - c}{c} $$

である。したがって、一般項は

$$ p_k - 1 = \frac{1 - c}{c} (1 - h)^k $$

となる。$h = \frac{a}{n}$ を代入して $p_k$ を求めると、

$$ p_k = 1 + \frac{1 - c}{c} \left( 1 - \frac{a}{n} \right)^k $$

となる。

(2)

$a = nh$ より、$f_n(a) = f_n(nh)$ である。

（1）の結果より、

$$ p_n = \frac{1}{f_n(nh)} = 1 + \frac{1 - c}{c} \left( 1 - \frac{a}{n} \right)^n $$

となるため、$f_n(a)$ は次のように表される。

$$ f_n(a) = \frac{1}{1 + \frac{1 - c}{c} \left( 1 - \frac{a}{n} \right)^n} $$

ここで、$n \to \infty$ としたときの極限を考える。ネイピア数 $e$ の定義を用いると、

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{a}{n} \right)^n &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( 1 + \frac{-a}{n} \right)^{\frac{n}{-a}} \right\}^{-a} \\ &= e^{-a} \end{aligned} $$

となる。

よって、求める極限 $g(a)$ は

$$ \begin{aligned} g(a) &= \lim_{n \to \infty} f_n(a) \\ &= \frac{1}{1 + \frac{1 - c}{c} e^{-a}} \\ &= \frac{c}{c + (1 - c)e^{-a}} \end{aligned} $$

となる。

(3)

（2）で求めた $g(a)$ の $a$ を $x$ に置き換えると、

$$ g(x) = \frac{c}{c + (1 - c)e^{-x}} $$

となる。それぞれの場合について $x > 0$ でのグラフの概形を調べる。

(i)

$c = 2$ のとき

$$ g(x) = \frac{2}{2 - e^{-x}} $$

$x > 0$ のとき $0 < e^{-x} < 1$ であるから、分母は $2 - e^{-x} > 1$ となり常に正である。 導関数を求めると、

$$ g'(x) = -\frac{2e^{-x}}{(2 - e^{-x})^2} < 0 $$

となり、$g(x)$ は単調に減少する。 また、極限を調べると

$$ \lim_{x \to +0} g(x) = \frac{2}{2 - 1} = 2 $$

$$ \lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{2}{2 - 0} = 1 $$

となるため、漸近線は $y = 1$ である。

(ii)

$c = 1$ のとき

$$ g(x) = \frac{1}{1 + 0 \cdot e^{-x}} = 1 $$

となり、$g(x)$ は常に値が $1$ の定数関数である。

(iii)

$c = \frac{1}{4}$ のとき

$$ g(x) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}e^{-x}} = \frac{1}{1 + 3e^{-x}} $$

導関数と第2次導関数を求めると、

$$ g'(x) = \frac{3e^{-x}}{(1 + 3e^{-x})^2} > 0 $$

$$ \begin{aligned} g''(x) &= \frac{-3e^{-x}(1 + 3e^{-x})^2 - 3e^{-x} \cdot 2(1 + 3e^{-x})(-3e^{-x})}{(1 + 3e^{-x})^4} \\ &= \frac{-3e^{-x}(1 + 3e^{-x}) + 18e^{-2x}}{(1 + 3e^{-x})^3} \\ &= \frac{3e^{-x}(3e^{-x} - 1)}{(1 + 3e^{-x})^3} \end{aligned} $$

$x > 0$ において $g(x)$ は単調に増加する。 $g''(x) = 0$ となるのは $3e^{-x} = 1$ より $x = \log 3$ のときである。 $0 < x < \log 3$ のとき $g''(x) > 0$（下に凸）、$x > \log 3$ のとき $g''(x) < 0$（上に凸）となる。 変曲点の座標は $(\log 3, \frac{1}{2})$ である。 また、極限を調べると

$$ \lim_{x \to +0} g(x) = \frac{1}{1 + 3} = \frac{1}{4} $$

$$ \lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{1}{1 + 0} = 1 $$

となるため、漸近線は $y = 1$ である。

解説

（1）は非線形の差分方程式であるが、逆数をとることで線形の差分方程式（漸化式）に帰着される典型的なパターンである。これはロジスティック方程式の離散化モデルとして知られている。 （2）ではネイピア数の定義 $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ を用いた極限計算が求められる。 （3）で得られる関数 $g(x)$ はロジスティック曲線（シグモイド曲線）の一部であり、初期値 $c$ と漸近線 $y = 1$ との大小関係によって、グラフの形状（単調減少か、定数か、変曲点を持つ単調増加か）が変化する様子が観察できる。

答え

(1)

$$ p_k = 1 + \frac{1 - c}{c} \left( 1 - \frac{a}{n} \right)^k $$

(2)

$$ g(a) = \frac{c}{c + (1 - c)e^{-a}} $$

(3)

$c = 2, 1, \frac{1}{4}$ それぞれのグラフは、$x > 0$ において以下の特徴を持つ曲線（半直線）となる。

• $c = 2$ のとき: 始点 $(0, 2)$ （白丸）から始まり、下に凸の形状で単調に減少し、直線 $y = 1$ に上から漸近する曲線。
• $c = 1$ のとき: 始点 $(0, 1)$ （白丸）を端点とする、直線 $y = 1$ 上の半直線。
• $c = \frac{1}{4}$ のとき: 始点 $(0, \frac{1}{4})$ （白丸）から始まり単調に増加する。区間 $0 < x < \log 3$ で下に凸、変曲点 $(\log 3, \frac{1}{2})$ を経て区間 $x > \log 3$ で上に凸となり、直線 $y = 1$ に下から漸近する曲線。