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大阪大学 1962年文系第4問解説

方針・初手

放物線上の点 $P$ の座標を変数 $t$ を用いて表し、$S = AP^2 + BP^2$ を計算する。得られる式が $t$ についての4次式となるが、奇数次の項が消去され $t^2$ の2次式になることに着目する。$X = t^2$ とおき、$X \geqq 0$ の範囲での2次関数の最小値問題として処理する。

解法1

(1)

放物線 $y = x^2 - 2$ 上の点 $P$ を $(t, t^2 - 2)$ とおく。

$AP$, $BP$ をそれぞれ1辺とする正方形の面積の和 $S$ は、$S = AP^2 + BP^2$ であるから、

$$ \begin{aligned} S &= \{ (t - (-1))^2 + (t^2 - 2 - 0)^2 \} + \{ (t - 1)^2 + (t^2 - 2 - a)^2 \} \\ &= \{ (t+1)^2 + (t^2 - 2)^2 \} + \{ (t-1)^2 + (t^2 - (a+2))^2 \} \\ &= (t^2 + 2t + 1 + t^4 - 4t^2 + 4) + (t^2 - 2t + 1 + t^4 - 2(a+2)t^2 + (a+2)^2) \\ &= 2t^4 - 2(a+3)t^2 + a^2 + 4a + 10 \end{aligned} $$

となる。ここで、$t^2 = X$ とおくと、$t$ は実数であるから $X \geqq 0$ である。 $S$ を $X$ の関数とみて $f(X)$ とすると、

$$ \begin{aligned} f(X) &= 2X^2 - 2(a+3)X + a^2 + 4a + 10 \\ &= 2 \left( X - \frac{a+3}{2} \right)^2 - 2 \left( \frac{a+3}{2} \right)^2 + a^2 + 4a + 10 \\ &= 2 \left( X - \frac{a+3}{2} \right)^2 - \frac{a^2+6a+9}{2} + \frac{2a^2+8a+20}{2} \\ &= 2 \left( X - \frac{a+3}{2} \right)^2 + \frac{a^2+2a+11}{2} \end{aligned} $$

問題の条件 $a \geqq 0$ より、この2次関数の軸 $X = \frac{a+3}{2}$ について $\frac{a+3}{2} > 0$ である。したがって、$X \geqq 0$ の範囲において、$f(X)$ は $X = \frac{a+3}{2}$ のとき最小値をとる。

このとき、$t^2 = \frac{a+3}{2}$ より、$t = \pm \sqrt{\frac{a+3}{2}}$ である。また、点 $P$ の $y$ 座標は、

$$ y = t^2 - 2 = \frac{a+3}{2} - 2 = \frac{a-1}{2} $$

となる。よって、$S$ は $P \left( \pm \sqrt{\frac{a+3}{2}}, \frac{a-1}{2} \right)$ のとき最小となり、その最小値は $\frac{a^2+2a+11}{2}$ である。

(2)

(1) で求めた $S$ の最小値を $g(a)$ とおくと、

$$ \begin{aligned} g(a) &= \frac{1}{2} (a^2 + 2a + 11) \\ &= \frac{1}{2} \{ (a+1)^2 + 10 \} \end{aligned} $$

となる。関数 $g(a)$ は $a = -1$ を軸とする下に凸の放物線を表す。 $a \geqq 0$ の範囲において、$g(a)$ は $a = 0$ のとき最小値をとる。

$a = 0$ のとき、点 $B$ の座標は $(1, 0)$ である。

解説

座標平面上の2点間の距離の平方の和を求める典型的な問題である。点 $P$ の座標を変数 $t$ で設定して $AP^2+BP^2$ を計算すると、$t$ の奇数次の項が打ち消し合い、偶数次のみの式（複二次式）になることが重要なポイントである。

これにより、$t^2=X$ と置き換えて2次関数の最小値問題に帰着させることができる。文字を置き換えた際には、元の変数が実数であることから生じる定義域の制限（$X \geqq 0$）を忘れないように注意が必要である。本問では $a \geqq 0$ という条件から軸が正となるため、特別な場合分けを必要とせず頂点で最小値をとる。