大阪大学 1985年 文系 第3問 解説

方針・初手

与えられた正方形と曲線 $y=x^2$ が共有点をもつ条件は、区間 $a \leqq x \leqq a+1$ において、曲線 $y=x^2$ が区間 $b \leqq y \leqq b+1$ の中の値をとるような実数 $x$ が存在することである。これを $x$ に関する条件とみなし、関数 $f(x)=x^2$ の区間 $[a, a+1]$ における値域を用いて、$a$ と $b$ の不等式を導くのが簡明である。

解法1

関数 $f(x)=x^2$ とし、区間 $I = [a, a+1]$ における $f(x)$ の最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とする。

曲線 $y=f(x)$ と正方形 $\{(x,y):a \leqq x \leqq a+1, \ b \leqq y \leqq b+1\}$ が共有点をもつための条件は、区間 $I$ 内のある実数 $x$ に対して

$$ b \leqq f(x) \leqq b+1 $$

が成り立つことである。

関数 $f(x)$ は区間 $I$ において連続であるから、区間 $I$ における $f(x)$ のとりうる値の範囲は $m(a) \leqq f(x) \leqq M(a)$ である。 したがって、求める条件は、区間 $[m(a), M(a)]$ と区間 $[b, b+1]$ が共通部分をもつこと、すなわち

$$ m(a) \leqq b+1 \quad \text{かつ} \quad b \leqq M(a) $$

である。これを変形すると

$$ m(a) - 1 \leqq b \leqq M(a) $$

となる。

次に、$M(a)$ および $m(a)$ を $a$ について場合分けして求める。 放物線 $y=x^2$ の軸は $x=0$ であり、区間 $I$ の中点は $x = a+\frac{1}{2}$ である。

（i） 最大値 $M(a)$ について 区間 $I$ の中点と軸の位置関係で場合分けをする。

• $a+\frac{1}{2} \leqq 0$、すなわち $a \leqq -\frac{1}{2}$ のとき $M(a) = f(a) = a^2$
• $a+\frac{1}{2} \geqq 0$、すなわち $a \geqq -\frac{1}{2}$ のとき $M(a) = f(a+1) = (a+1)^2$

（ii） 最小値 $m(a)$ について 区間 $I$ と軸の位置関係で場合分けをする。

• $a+1 \leqq 0$、すなわち $a \leqq -1$ のとき $m(a) = f(a+1) = (a+1)^2$
• $a \leqq 0 \leqq a+1$、すなわち $-1 \leqq a \leqq 0$ のとき $m(a) = f(0) = 0$
• $0 \leqq a$ のとき $m(a) = f(a) = a^2$

以上より、求める点 $(a,b)$ の存在範囲は、以下の連立不等式が表す領域となる。

$$ \begin{cases} a \leqq -1 \text{ のとき} & (a+1)^2 - 1 \leqq b \leqq a^2 \\ -1 \leqq a \leqq -\frac{1}{2} \text{ のとき} & -1 \leqq b \leqq a^2 \\ -\frac{1}{2} \leqq a \leqq 0 \text{ のとき} & -1 \leqq b \leqq (a+1)^2 \\ 0 \leqq a \text{ のとき} & a^2 - 1 \leqq b \leqq (a+1)^2 \end{cases} $$

これを $ab$ 平面上に図示すればよい。

解法2

与えられた条件は、

$$ \begin{cases} a \leqq x \leqq a+1 \\ b \leqq x^2 \leqq b+1 \end{cases} $$

を満たす実数 $x$ が存在することと同値である。

この条件式を $a, b$ について整理すると、

$$ \begin{cases} x-1 \leqq a \leqq x \\ x^2-1 \leqq b \leqq x^2 \end{cases} $$

となる。したがって、求める点 $(a,b)$ の存在範囲は、実数 $x$ を動かしたときの領域

$$ D(x) = \{ (a,b) \mid x-1 \leqq a \leqq x, \ x^2-1 \leqq b \leqq x^2 \} $$

の和集合 $\bigcup_{x} D(x)$ である。

ある $a$ を固定したとき、条件 $x-1 \leqq a \leqq x$ を満たす $x$ の範囲は $a \leqq x \leqq a+1$ である。 この $x$ の範囲において $b$ のとりうる値の範囲を考える。 $x$ が連続的に $a \leqq x \leqq a+1$ を動くとき、$x^2$ および $x^2-1$ も連続的に変化するため、$b$ は $x^2-1 \leqq b \leqq x^2$ の範囲のすべての値をとりうる。

よって、$b$ の最大値は $x \in [a, a+1]$ における $x^2$ の最大値であり、$b$ の最小値は $x \in [a, a+1]$ における $x^2-1$ の最小値となる。 $x^2$ の $a \leqq x \leqq a+1$ における最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とすれば、$b$ のとりうる範囲は

$$ m(a) - 1 \leqq b \leqq M(a) $$

となる。ここから先の議論は、解法1の $M(a), m(a)$ の導出と全く同じになるため省略する。

解説

2つの図形が共有点をもつ条件を定式化する問題である。 動く図形（正方形）が定まる条件として立式するか、曲線上の点が図形に含まれる条件として立式するかの選択となるが、本問は解法1のように関数の値域と区間の共通部分の問題に帰着させるのが一番見通しがよい。 また、図示問題では境界線の接続（特に $a=-1, -\frac{1}{2}, 0$ の境界）を丁寧に確認することが、採点での減点を防ぐポイントとなる。

答え

点 $(a,b)$ の存在する範囲は、次の連立不等式で表される領域である。

$$ \begin{cases} a \leqq -1 \text{ のとき} & a^2+2a \leqq b \leqq a^2 \\ -1 < a \leqq -\frac{1}{2} \text{ のとき} & -1 \leqq b \leqq a^2 \\ -\frac{1}{2} < a \leqq 0 \text{ のとき} & -1 \leqq b \leqq (a+1)^2 \\ 0 < a \text{ のとき} & a^2-1 \leqq b \leqq (a+1)^2 \end{cases} $$

この領域を図示すると、$ab$ 平面上において以下の境界線で囲まれた部分となる。

• 上の境界線： $a \leqq -\frac{1}{2}$ の範囲では放物線 $b=a^2$ $-\frac{1}{2} \leqq a$ の範囲では放物線 $b=(a+1)^2$
• 下の境界線： $a \leqq -1$ の範囲では放物線 $b=a^2+2a$ $-1 \leqq a \leqq 0$ の範囲では直線 $b=-1$ $0 \leqq a$ の範囲では放物線 $b=a^2-1$

（境界線はすべて含む）