大阪大学 1962年 文系 第5問 解説

方針・初手

まずは与えられた定積分を計算し、関数 $f(x)$ を $x$ の式として具体的に求める。その後、導関数 $f'(x)$ を計算して増減を調べ、極値を求める。被積分関数に三角関数が含まれているため、得られた $f(x)$ の周期性に着目してグラフの描画範囲を絞り込むと見通しがよくなる。

解法1

与えられた関数 $f(x)$ の定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= \int_{0}^{x} (\cos t + \sin 2t) dt \\ &= \left[ \sin t - \frac{1}{2} \cos 2t \right]_{0}^{x} \\ &= \left( \sin x - \frac{1}{2} \cos 2x \right) - \left( \sin 0 - \frac{1}{2} \cos 0 \right) \\ &= \sin x - \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \end{aligned} $$

ここで、倍角の公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いると、$f(x)$ は以下のように変形できる。

$$ \begin{aligned} f(x) &= \sin x - \frac{1}{2} (1 - 2\sin^2 x) + \frac{1}{2} \\ &= \sin^2 x + \sin x \end{aligned} $$

$\sin x$ は周期 $2\pi$ の周期関数であるから、$f(x)$ も周期 $2\pi$ の周期関数である。 したがって、$0 \leqq x \leqq 2\pi$ の範囲で関数の増減を調べ、そのグラフを $x$ 軸方向に $2n\pi$（$n$ は整数）だけ平行移動すれば全体のグラフが得られる。

$f(x)$ を $x$ で微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 2\sin x \cos x + \cos x \\ &= \cos x (2\sin x + 1) \end{aligned} $$

となる。$0 \leqq x \leqq 2\pi$ において、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。 $\cos x = 0$ または $\sin x = -\frac{1}{2}$ より、

$$ x = \frac{\pi}{2}, \frac{7}{6}\pi, \frac{3}{2}\pi, \frac{11}{6}\pi $$

である。これをもとに、$0 \leqq x \leqq 2\pi$ における増減表を作成すると以下のようになる。

増減表から、この区間において $f(x)$ は $x = \frac{\pi}{2}$ のとき、極大値 $2$ $x = \frac{3}{2}\pi$ のとき、極大値 $0$ $x = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$ のとき、極小値 $-\frac{1}{4}$ をとることがわかる。

また、$f(0) = 0$、$f(2\pi) = 0$ であるため、グラフは原点を通る。 以上より、関数 $y=f(x)$ のグラフは、この $0 \leqq x \leqq 2\pi$ の区間における波状の曲線を周期 $2\pi$ で繰り返した形となる。

解説

定積分で表された関数のグラフを描く典型的な問題である。 微積分学の基本定理を用いていきなり $f'(x) = \cos x + \sin 2x$ と導関数を求めることも可能だが、極値などを求める際にいずれにせよ $f(x)$ の値が必要になるため、最初に定積分を実行して $f(x)$ を $\sin x$ の式として表してしまう方が後の計算が楽になる。 また、三角関数を含む関数では周期性に気づくことが重要であり、全区間で闇雲に考えるのではなく、1周期分に限定して増減表を作ることで記述が明確になる。

答え

$f(x) = \sin^2 x + \sin x$ であり、周期 $2\pi$ の周期関数である。 グラフは、$0 \leqq x \leqq 2\pi$ において 極大値 $2$ $\left(x = \frac{\pi}{2}\right)$、$0$ $\left(x = \frac{3}{2}\pi\right)$ 極小値 $-\frac{1}{4}$ $\left(x = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi\right)$ をとり、原点を通る滑らかな曲線を描き、それを $x$ 軸方向に周期 $2\pi$ で無限に連ねた形状となる。