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大阪大学 1961年文系第4問解説

方針・初手

与えられた連立不等式が表す領域を $D$ とし、目的の式を $k = x^2 - y^2$ とおいて $k$ の最大値および最小値を考えます。 2つの変数 $x, y$ が領域 $D$ 内を連動して動くため、一気に両方を動かすと最大・最小の判断が困難になります。そこで、$x$ を固定して $y$ だけを動かすことで $k$ を $y$ の1変数関数とみなし、まずその最大・最小を求めます。その後、固定していた $x$ を領域内のとりうる範囲で動かして、全体としての最大値および最小値を求める「1文字固定（予選決勝法）」の手法が確実です。

解法1

与えられた不等式は以下の通りである。

$$ y \geqq x^2 - 1 \quad \cdots \text{①} $$

$$ y \leqq \frac{5}{6}(x + 1) \quad \cdots \text{②} $$

①、②を同時に満たす領域を $D$ とする。境界線である放物線 $y = x^2 - 1$ と直線 $y = \frac{5}{6}(x + 1)$ の交点の $x$ 座標は、次の方程式を解いて求める。

$$ x^2 - 1 = \frac{5}{6}(x + 1) $$

$$ 6(x - 1)(x + 1) = 5(x + 1) $$

$$ (x + 1)(6x - 6 - 5) = 0 $$

$$ (x + 1)(6x - 11) = 0 $$

よって、$x = -1, \frac{11}{6}$ である。したがって、領域 $D$ における $x$ のとりうる値の範囲は $-1 \leqq x \leqq \frac{11}{6}$ である。

求める値を $k = x^2 - y^2$ とおく。 $x$ を $-1 \leqq x \leqq \frac{11}{6}$ の範囲で固定し、$k$ を $y$ の関数とみなす。領域 $D$ における $y$ のとりうる値の範囲は、

$$ x^2 - 1 \leqq y \leqq \frac{5}{6}(x + 1) \quad \cdots \text{③} $$

である。$x$ を固定したとき、$k = x^2 - y^2$ は、$y^2$ が最小となるときに最大となり、$y^2$ が最大となるときに最小となる。

(1) 最大値について

$x$ を固定したとき、$y^2 \geqq 0$ より $k \leqq x^2$ である。

(i) $-1 \leqq x \leqq 1$ のとき

③より $x^2 - 1 \leqq 0 \leqq \frac{5}{6}(x + 1)$ となり、$y$ の変域に $0$ が含まれる。よって、$y = 0$ のとき $k$ は最大値 $M_1(x) = x^2$ をとる。この範囲において、$M_1(x)$ の最大値は $x = \pm 1$ のとき $1$ である。

(ii) $1 < x \leqq \frac{11}{6}$ のとき

③より $x^2 - 1 > 0$ であるため、$y$ の変域は $0 < x^2 - 1 \leqq y \leqq \frac{5}{6}(x + 1)$ となり、$0$ は含まれない。 $y^2$ が最小となるのは $y = x^2 - 1$ のときであるから、$k$ の最大値 $M_2(x)$ は、

$$ M_2(x) = x^2 - (x^2 - 1)^2 = -x^4 + 3x^2 - 1 $$

$M_2(x)$ を $x$ で微分すると、

$$ M_2'(x) = -4x^3 + 6x = -2x(2x^2 - 3) $$

$1 < x \leqq \frac{11}{6}$ において $M_2'(x) = 0$ となるのは、$x = \sqrt{\frac{3}{2}}$ のときである。 $1 < x < \sqrt{\frac{3}{2}}$ のとき $M_2'(x) > 0$、$\sqrt{\frac{3}{2}} < x \leqq \frac{11}{6}$ のとき $M_2'(x) < 0$ となるため、$M_2(x)$ は $x = \sqrt{\frac{3}{2}}$ で極大かつ最大となる。

$$ M_2\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right) = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = -\frac{9}{4} + \frac{18}{4} - \frac{4}{4} = \frac{5}{4} $$

(i), (ii) より、全体の最大値は $1$ と $\frac{5}{4}$ のうち大きい方である $\frac{5}{4}$ となる。このとき、$x = \sqrt{\frac{3}{2}}$ であり、$y = \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2 - 1 = \frac{1}{2}$ である。

(2) 最小値について

$x$ を固定したとき、$k$ の最小値は $y^2$（すなわち $|y|$）が最大のときにとる。変域③の両端における値の絶対値 $|x^2 - 1|$ と $\left|\frac{5}{6}(x + 1)\right|$ の大小を比較するため、2乗の差をとる。 $-1 \leqq x \leqq \frac{11}{6}$ より $\frac{5}{6}(x + 1) \geqq 0$ であることに注意すると、

$$ \left|\frac{5}{6}(x + 1)\right|^2 - |x^2 - 1|^2 = \frac{25}{36}(x + 1)^2 - (x^2 - 1)^2 $$

$$ = (x + 1)^2 \left\{ \frac{25}{36} - (x - 1)^2 \right\} $$

$$ = (x + 1)^2 \left( \frac{5}{6} - x + 1 \right) \left( \frac{5}{6} + x - 1 \right) $$

$$ = (x + 1)^2 \left( \frac{11}{6} - x \right) \left( x - \frac{1}{6} \right) $$

$-1 \leqq x < \frac{11}{6}$ において $(x + 1)^2 \left( \frac{11}{6} - x \right) > 0$ であるから、差の符号は $x - \frac{1}{6}$ の符号と一致する。

(iii) $-1 \leqq x \leqq \frac{1}{6}$ のとき

$x - \frac{1}{6} \leqq 0$ より $\left|\frac{5}{6}(x + 1)\right| \leqq |x^2 - 1|$ である。よって、$y = x^2 - 1$ のとき $|y|$ は最大となり、$k$ の最小値 $m_1(x)$ は、

$$ m_1(x) = x^2 - (x^2 - 1)^2 = -x^4 + 3x^2 - 1 $$

$m_1'(x) = -2x(2x^2 - 3)$ であり、$-1 \leqq x \leqq \frac{1}{6}$ において $m_1'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ のみである。 $-1 \leqq x < 0$ で $m_1'(x) < 0$、$0 < x \leqq \frac{1}{6}$ で $m_1'(x) > 0$ となるため、$m_1(x)$ は $x = 0$ で極小かつ最小となる。

$$ m_1(0) = -1 $$

(iv) $\frac{1}{6} \leqq x \leqq \frac{11}{6}$ のとき

$x - \frac{1}{6} \geqq 0$ より $\left|\frac{5}{6}(x + 1)\right| \geqq |x^2 - 1|$ である。よって、$y = \frac{5}{6}(x + 1)$ のとき $|y|$ は最大となり、$k$ の最小値 $m_2(x)$ は、

$$ m_2(x) = x^2 - \frac{25}{36}(x + 1)^2 = \frac{11}{36}x^2 - \frac{25}{18}x - \frac{25}{36} $$

$m_2(x)$ を $x$ で微分すると、

$$ m_2'(x) = \frac{11}{18}x - \frac{25}{18} $$

$m_2'(x) = 0$ となる $x = \frac{25}{11}$ はこの区間に含まれない。 $\frac{1}{6} \leqq x \leqq \frac{11}{6}$ において常に $m_2'(x) < 0$ であるから、$m_2(x)$ は単調減少する。よって、$x = \frac{11}{6}$ で最小となる。

$$ m_2\left(\frac{11}{6}\right) = \frac{11}{36} \left(\frac{11}{6}\right)^2 - \frac{25}{18} \left(\frac{11}{6}\right) - \frac{25}{36} $$

$$ = \frac{1331}{1296} - \frac{1100}{432} - \frac{25}{36} = \frac{1331 - 3300 - 900}{1296} = -\frac{2869}{1296} $$

(iii), (iv) より、$-1 = -\frac{1296}{1296} > -\frac{2869}{1296}$ であるから、全体の最小値は $-\frac{2869}{1296}$ となる。このとき、$x = \frac{11}{6}$ であり、$y = \frac{5}{6}\left(\frac{11}{6} + 1\right) = \frac{85}{36}$ である。

解説

本問のように変数が動く領域が非線形な境界（放物線）を持つ場合、$x^2 - y^2 = k$ とおいて双曲線のグラフを動かす図形的アプローチをとることも可能ですが、接する条件や境界の端点の確認が非常に煩雑になります。

そのため、解法で示した「1つの変数を固定して考える（予選決勝法）」方針が最も確実で論理の飛躍がありません。 $x$ を固定することで、目的の式を $y$ の2次関数として捉えることができ、放物線の軸（今回は $y=0$）と変域の位置関係によって場合分けをするという、基本的な2次関数の最大・最小問題に帰着させることができます。

後半の最小値を求める場面で $|x^2 - 1|$ と $\frac{5}{6}(x + 1)$ の大小を比較する際、両辺が $0$ 以上であることを確認して「2乗の差をとる」工夫をすると、計算の見通しが格段に良くなります。