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大阪大学 1974年文系第3問解説

方針・初手

(1) は積和の公式 $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\{ \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta) \}$ を用いて各項を差の形に分解し、相殺し合う和（望遠鏡和）を作るのが定石である。 (2) は (1) の結果を利用して証明するか、数学的帰納法を用いるかの2つの方針が考えられる。(1)の括弧内の和において、項数を $2^n$ 個としたものが(2)の左辺になっていることに着目する。

解法1

(1) 与えられた式を $S$ とおく。

$$ S = \sin x \cos x + \sin x \cos 3x + \cdots + \sin x \cos(2n-1)x $$

積和の公式 $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\{ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) \}$ を用いると、各項は次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} \sin x \cos x &= \frac{1}{2} \sin 2x \\ \sin x \cos 3x &= \frac{1}{2} ( \sin 4x + \sin(-2x) ) = \frac{1}{2} ( \sin 4x - \sin 2x ) \\ \sin x \cos 5x &= \frac{1}{2} ( \sin 6x + \sin(-4x) ) = \frac{1}{2} ( \sin 6x - \sin 4x ) \\ &\vdots \\ \sin x \cos(2n-1)x &= \frac{1}{2} \{ \sin 2nx + \sin(- (2n-2)x) \} = \frac{1}{2} \{ \sin 2nx - \sin(2n-2)x \} \end{aligned} $$

これらを辺々足し合わせると、途中の項が互いに打ち消し合う。

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \{ \sin 2x + ( \sin 4x - \sin 2x ) + ( \sin 6x - \sin 4x ) + \cdots + ( \sin 2nx - \sin(2n-2)x ) \} \\ &= \frac{1}{2} \sin 2nx \end{aligned} $$

(2) 証明すべき等式の左辺を $L_n$、右辺を $R_n$ とおく。 $L_n$ は(1)の括弧内の式において、末項が $\cos(2^{n+1}-1)x$ となる和である。一般項を $\cos(2k-1)x$ とすると、$2k-1 = 2^{n+1}-1$ より $k=2^n$ であるから、$L_n$ は項数が $2^n$ 個の和である。両辺に $\sin x$ を掛けて考える。

(i)

$\sin x \neq 0$ のとき

(1)の結果において $n$ を $2^n$ に置き換えることにより、次が成り立つ。

$$ \sin x \cdot L_n = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 2^n x) = \frac{1}{2} \sin(2^{n+1}x) $$

一方、右辺 $R_n$ に $\sin x$ を掛けると、倍角の公式 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ を繰り返し用いて次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} \sin x \cdot R_n &= 2^n \sin x \cos x \cos 2x \cos 4x \cdots \cos 2^nx \\ &= 2^{n-1} (2 \sin x \cos x) \cos 2x \cos 4x \cdots \cos 2^nx \\ &= 2^{n-1} \sin 2x \cos 2x \cos 4x \cdots \cos 2^nx \\ &= 2^{n-2} (2 \sin 2x \cos 2x) \cos 4x \cdots \cos 2^nx \\ &= 2^{n-2} \sin 4x \cos 4x \cdots \cos 2^nx \\ &\vdots \\ &= 2^0 \sin(2^nx) \cos(2^nx) \\ &= \frac{1}{2} (2 \sin 2^nx \cos 2^nx) \\ &= \frac{1}{2} \sin(2^{n+1}x) \end{aligned} $$

したがって、$\sin x \cdot L_n = \sin x \cdot R_n$ が成り立つ。$\sin x \neq 0$ であるから、両辺を $\sin x$ で割って $L_n = R_n$ を得る。

(ii)

$\sin x = 0$ のとき

$x = m\pi$ ($m$ は整数) と表せる。このとき、正の奇数 $p$ に対して $\cos px = \cos(pm\pi)$ となる。 $m$ が偶数ならば $\cos(pm\pi) = 1$、$m$ が奇数ならば $\cos(pm\pi) = -1$ である。

$m$ が偶数の場合、左辺 $L_n$ の各項はすべて $1$ となり、項数は $2^n$ 個であるから $L_n = 2^n$ である。右辺の各項は $\cos(2^k m\pi) = 1$ ($k=0, 1, \dots, n$) であるから、$R_n = 2^n \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1 = 2^n$ となり、$L_n = R_n$ が成り立つ。

$m$ が奇数の場合、左辺 $L_n$ の各項はすべて $-1$ となるため $L_n = -2^n$ である。右辺において、$\cos x = \cos(m\pi) = -1$ であり、それ以外の項 ($k \geqq 1$) については $2^k m$ は偶数となるため $\cos(2^kx) = 1$ である。よって $R_n = 2^n \cdot (-1) \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1 = -2^n$ となり、$L_n = R_n$ が成り立つ。

以上（i）, （ii）より、すべての $x$ について与式が成り立つことが証明された。

解法2

(2) を数学的帰納法によって証明する。証明すべき等式を $P(n)$ とする。

(I)

$n=1$ のとき

左辺は $\cos x + \cos 3x$ である。右辺は $2^1 \cos x \cos 2x = 2 \cos x \cos 2x$ である。積和の公式より、

$$ 2 \cos x \cos 2x = \cos(x+2x) + \cos(x-2x) = \cos 3x + \cos(-x) = \cos 3x + \cos x $$

となり、左辺と一致する。よって $n=1$ のとき $P(n)$ は成り立つ。

(II)

$n=k$ のとき $P(n)$ が成り立つと仮定する。

すなわち、次が成り立つと仮定する。

$$ \cos x + \cos 3x + \cdots + \cos(2^{k+1}-1)x = 2^k \cos x \cos 2x \cdots \cos 2^k x $$

$n=k+1$ のとき、等式の右辺 $R_{k+1}$ を変形する。

$$ \begin{aligned} R_{k+1} &= 2^{k+1} \cos x \cos 2x \cdots \cos 2^k x \cos 2^{k+1} x \\ &= 2 ( 2^k \cos x \cos 2x \cdots \cos 2^k x ) \cos 2^{k+1} x \end{aligned} $$

帰納法の仮定を用いて、前半の積の部分を和に置き換える。

$$ R_{k+1} = 2 \{ \cos x + \cos 3x + \cdots + \cos(2^{k+1}-1)x \} \cos 2^{k+1} x $$

分配法則を用いて展開し、各項に積和の公式 $2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)$ を適用する。括弧内の第 $m$ 項 ($m=1, 2, \dots, 2^k$) は $\cos(2m-1)x$ であるから、$\cos 2^{k+1}x$ を掛けて積和の公式を用いると次のようになる。

$$ \begin{aligned} 2 \cos(2m-1)x \cos 2^{k+1}x &= \cos(2^{k+1}x + (2m-1)x) + \cos(2^{k+1}x - (2m-1)x) \\ &= \cos(2^{k+1} + 2m - 1)x + \cos(2^{k+1} - 2m + 1)x \end{aligned} $$

これを $m=1$ から $2^k$ まで足し合わせる。和の前半の項 $\cos(2^{k+1} + 2m - 1)x$ について、 $m=1$ のとき $\cos(2^{k+1}+1)x$ $m=2^k$ のとき $\cos(2^{k+2}-1)x$ となり、これは証明すべき等式の左辺 $L_{k+1}$ における、後半 $2^k$ 個の項の和に一致する。

和の後半の項 $\cos(2^{k+1} - 2m + 1)x$ について、 $m=1$ のとき $\cos(2^{k+1}-1)x$ $m=2^k$ のとき $\cos x$ となり、逆順に並べ替えると $\cos x + \cos 3x + \cdots + \cos(2^{k+1}-1)x$ となる。これは $L_{k+1}$ における、前半 $2^k$ 個の項の和に一致する。

したがって、これらの和をすべて合わせると、

$$ R_{k+1} = \cos x + \cos 3x + \cdots + \cos(2^{k+2}-1)x = L_{k+1} $$

となり、$n=k+1$ のときも $P(n)$ が成り立つ。

（I）, （II）より、すべての正の整数 $n$ について等式は成り立つ。

解説

(1) は、等差数列を角度に持つ三角関数の和を求める典型問題である。$\sin x$ を掛けて積和の公式を用いることで、隣り合う項や離れた項同士が相殺する「望遠鏡和（telescoping sum）」を作る手法は、受験数学において頻出のテクニックである。

(2) は、(1)の誘導に乗る解法1が最も自然である。ただし、両辺に $\sin x$ を掛ける操作を行うため、等式が同値変形になるように $\sin x = 0$ となる場合について場合分けを忘れないことが重要である。また、解法2のように数学的帰納法で証明することも可能であり、帰納法の仮定を使って積の形から和の形へ展開していくと美しく証明できる。