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大阪大学 2006年理系第1問解説

方針・初手

（1）は、2つの関数 $y = x\sin^2 x$ と $y = x$ を連立させて $x > 0$ における共有点の $x$ 座標を求める。さらに、その $x$ 座標において2つの関数の導関数（接線の傾き）が一致することを示せば、接することの証明となる。

（2）は、区間 $[A_n, A_{n+1}]$ における2曲線の上下関係を調べ、定積分を立式する。被積分関数は $x\cos^2 x$ となるため、半角の公式で次数を下げてから部分積分を用いて計算を進める。

解法1

(1)

曲線 $y = x\sin^2 x$ と直線 $y = x$ の共有点の $x$ 座標は、方程式

$$ x\sin^2 x = x $$

の解である。$x > 0$ における共有点を考えるため、両辺を $x$ で割ると

$$ \sin^2 x = 1 $$

$$ \sin x = \pm 1 $$

となる。$x > 0$ の範囲において、この方程式を満たす $x$ は

$$ x = \frac{\pi}{2} + m\pi \quad (m = 0, 1, 2, \dots) $$

である。これを $x$ が小さい方から順に $A_1, A_2, A_3, \dots$ としたとき、第 $n$ 番目の点 $A_n$ の $x$ 座標を $x_n$ とすると

$$ x_n = \frac{\pi}{2} + (n-1)\pi = \frac{2n-1}{2}\pi $$

となる。

次に、この点において曲線と直線が接することを示す。 $f(x) = x\sin^2 x$、$g(x) = x$ とおく。それぞれの導関数は

$$ f'(x) = \sin^2 x + 2x\sin x \cos x $$

$$ g'(x) = 1 $$

である。点 $A_n$ の $x$ 座標 $x_n = \frac{2n-1}{2}\pi$ において、$\sin^2 x_n = 1$、$\cos x_n = 0$ が成り立つため、これを $f'(x)$ に代入すると

$$ f'(x_n) = 1 + 2x_n \cdot (\pm 1) \cdot 0 = 1 $$

となる。したがって、$f'(x_n) = g'(x_n) = 1$ が成り立つ。点 $A_n$ は2曲線の共有点であり、かつその点における接線の傾きが一致するため、曲線 $y = x\sin^2 x$ と直線 $y = x$ は点 $A_n$ において接している。

(2)

点 $A_n, A_{n+1}$ の $x$ 座標は、それぞれ $x_n = \frac{2n-1}{2}\pi$、$x_{n+1} = \frac{2n+1}{2}\pi$ である。

区間 $[x_n, x_{n+1}]$ において、常に $\sin^2 x \le 1$ であり $x > 0$ であるから、$x\sin^2 x \le x$ が成り立つ。よって、この区間において直線 $y = x$ は曲線 $y = x\sin^2 x$ の上側（または一致）にある。求める面積を $S_n$ とすると、

$$ S_n = \int_{x_n}^{x_{n+1}} (x - x\sin^2 x) \,dx $$

$$ S_n = \int_{x_n}^{x_{n+1}} x(1 - \sin^2 x) \,dx $$

$$ S_n = \int_{x_n}^{x_{n+1}} x\cos^2 x \,dx $$

半角の公式を用いて変形すると、

$$ S_n = \int_{x_n}^{x_{n+1}} \frac{x(1 + \cos 2x)}{2} \,dx $$

$$ S_n = \frac{1}{2} \int_{x_n}^{x_{n+1}} x \,dx + \frac{1}{2} \int_{x_n}^{x_{n+1}} x\cos 2x \,dx $$

となる。ここで、それぞれの定積分を計算する。第1項は

$$ \frac{1}{2} \int_{x_n}^{x_{n+1}} x \,dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{x_n}^{x_{n+1}} = \frac{1}{4} (x_{n+1}^2 - x_n^2) $$

である。第2項について、部分積分を用いると

$$ \int x\cos 2x \,dx = x \cdot \frac{1}{2}\sin 2x - \int 1 \cdot \frac{1}{2}\sin 2x \,dx = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C $$

（$C$ は積分定数）となるから、

$$ \frac{1}{2} \int_{x_n}^{x_{n+1}} x\cos 2x \,dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x \right]_{x_n}^{x_{n+1}} $$

ここで、$2x_n = (2n-1)\pi$、$2x_{n+1} = (2n+1)\pi$ である。 $\sin$ の値は $\sin((2n-1)\pi) = 0$、$\sin((2n+1)\pi) = 0$ となり、 $\cos$ の値は $\cos((2n-1)\pi) = -1$、$\cos((2n+1)\pi) = -1$ となる。したがって、

$$ \left[ \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x \right]_{x_n}^{x_{n+1}} = \left( 0 - \frac{1}{4} \right) - \left( 0 - \frac{1}{4} \right) = 0 $$

となり、第2項は $0$ になる。以上より、

$$ S_n = \frac{1}{4} (x_{n+1}^2 - x_n^2) = \frac{1}{4} (x_{n+1} - x_n)(x_{n+1} + x_n) $$

ここで、$x_{n+1} - x_n = \pi$ であり、$x_{n+1} + x_n = \frac{2n+1}{2}\pi + \frac{2n-1}{2}\pi = 2n\pi$ であるから、代入して

$$ S_n = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 2n\pi = \frac{n}{2}\pi^2 $$

となる。

解説

（1）は接点の条件として $f(x) = g(x)$ と $f'(x) = g'(x)$ が同時に成り立つことを示す基本問題である。

（2）の面積計算では、三角関数の積分において次数を下げる「半角の公式」と、$x \cos 2x$ を処理する「部分積分」を正しく組み合わせることがポイントとなる。積分区間の端点が $\frac{\text{奇数}}{2}\pi$ の形をしているため、定積分を計算する際に三角関数を含む項がきれいな値になり、大幅に計算が簡略化されることに着目したい。