九州大学 2002年 文系 第4問 解説

方針・初手

(1) 前半は、三角関数の加法定理から積和の公式（または和を積に直す公式）を導くアプローチをとる。後半は、前半で得られた等式を漸化式とみなし、数学的帰納法を用いて $p_n(x)$ の存在とその次数を示す。 (2) 恒等式 $p_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ に対して、$\theta$ に $\pi - \theta$ を代入することで $p_n(-x)$ の性質を調べるか、(1) で得られた多項式の漸化式を用いて帰納的に証明する。 (3) 多項式 $p_n(x)$ において、定数項は $x=0$ を代入した値 $p_n(0)$ であり、1次の項の係数は導関数に $x=0$ を代入した値 $p_n'(0)$ であることに着目する。$x = \cos\theta = 0$ となる $\theta$ （たとえば $\theta = \frac{\pi}{2}$）を代入して求める。

解法1

(1) 三角関数の加法定理より、

$$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$$

$$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$$

両辺を加えると、

$$\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) = 2\cos\alpha \cos\beta$$

ここで、$\alpha = (n-1)\theta$, $\beta = \theta$ とおくと、$\alpha+\beta = n\theta$, $\alpha-\beta = (n-2)\theta$ となるから、

$$\cos n\theta + \cos(n-2)\theta = 2\cos(n-1)\theta \cos\theta$$

したがって、移項して整理すると、

$$\cos n\theta = 2\cos\theta \cos(n-1)\theta - \cos(n-2)\theta \quad \cdots (A)$$

が成り立つ。（証明終）

次に、「$\cos n\theta = p_n(\cos\theta)$ となる $n$ 次式 $p_n(x)$ が存在する」ことを、数学的帰納法を用いて示す。

(i) $n=1$ のとき $\cos\theta = \cos\theta$ より、$p_1(x) = x$ とおけば、これは1次式であり条件を満たす。

(ii) $n=2$ のとき 倍角の公式より $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ であるから、$p_2(x) = 2x^2 - 1$ とおけば、これは2次式であり条件を満たす。

(iii) $n=k, k+1$ ($k \ge 1$) のとき、題意が成り立つと仮定する。 すなわち、$p_k(x)$ が $k$ 次式、$p_{k+1}(x)$ が $k+1$ 次式であり、

$$\cos k\theta = p_k(\cos\theta)$$

$$\cos(k+1)\theta = p_{k+1}(\cos\theta)$$

と表されるとする。 $n=k+2$ のとき、式(A)より

$$\cos(k+2)\theta = 2\cos\theta \cos(k+1)\theta - \cos k\theta$$

帰納法の仮定を用いると、

$$\cos(k+2)\theta = 2\cos\theta p_{k+1}(\cos\theta) - p_k(\cos\theta)$$

ここで、$p_{k+2}(x) = 2x p_{k+1}(x) - p_k(x)$ とおく。 $p_{k+1}(x)$ は $k+1$ 次式なので $2x p_{k+1}(x)$ は $k+2$ 次式であり、$p_k(x)$ は $k$ 次式である。したがって、差をとった $p_{k+2}(x)$ は $k+2$ 次式である。 よって、$n=k+2$ のときも成り立つ。

(i), (ii), (iii) より、すべての正の整数 $n$ について、$\cos n\theta$ は $\cos\theta$ の $n$ 次式 $p_n(\cos\theta)$ で表される。（証明終）

(2) (1) の結果より、すべての実数 $\theta$ に対して

$$p_n(\cos\theta) = \cos n\theta$$

が成り立つ。$\theta$ の代わりに $\pi - \theta$ を代入すると、

$$p_n(\cos(\pi - \theta)) = \cos n(\pi - \theta)$$

左辺は $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ より、$p_n(-\cos\theta)$ となる。 右辺は加法定理より、

$$\cos(n\pi - n\theta) = \cos n\pi \cos n\theta + \sin n\pi \sin n\theta$$

ここで $\sin n\pi = 0$ であり、$\cos n\pi = (-1)^n$ であるから、

$$\cos(n\pi - n\theta) = (-1)^n \cos n\theta$$

したがって、

$$p_n(-\cos\theta) = (-1)^n \cos n\theta = (-1)^n p_n(\cos\theta)$$

$x = \cos\theta$ とおくと、$\theta$ が実数全体を動くとき $x$ は $-1 \le x \le 1$ の範囲を動く。 この範囲で

$$p_n(-x) = (-1)^n p_n(x)$$

が成り立つ。$p_n(x)$ は多項式であるから、ある区間で恒等的に成り立つ多項式の等式はすべての実数 $x$ で成り立つ。

ゆえに、$n$ が偶数のときは $(-1)^n = 1$ より $p_n(-x) = p_n(x)$ となり $p_n(x)$ は偶関数である。 $n$ が奇数のときは $(-1)^n = -1$ より $p_n(-x) = -p_n(x)$ となり $p_n(x)$ は奇関数である。（証明終）

(3) 整式 $p_n(x)$ の定数項は $p_n(0)$ であり、1次の項の係数は $p_n'(0)$ である。 すべての実数 $\theta$ に対して成り立つ恒等式

$$p_n(\cos\theta) = \cos n\theta$$

において、$x = \cos\theta = 0$ となる $\theta = \frac{\pi}{2}$ を代入すると、

$$p_n(0) = \cos \frac{n\pi}{2}$$

これが定数項である。

次に、上記の恒等式の両辺を $\theta$ で微分すると、合成関数の微分法より

$$p_n'(\cos\theta) \cdot (-\sin\theta) = -n \sin n\theta$$

$$p_n'(\cos\theta) \sin\theta = n \sin n\theta$$

ここに $\theta = \frac{\pi}{2}$ を代入すると、$\cos\frac{\pi}{2} = 0, \sin\frac{\pi}{2} = 1$ であるから、

$$p_n'(0) \cdot 1 = n \sin \frac{n\pi}{2}$$

これが1次の項の係数である。

解法2

(2) 漸化式と数学的帰納法を用いた別解を示す。 (1)の証明より、$p_1(x) = x$ （奇関数）、$p_2(x) = 2x^2 - 1$ （偶関数）であり、$n \ge 3$ に対して次の漸化式が成り立つ。

$$p_n(x) = 2x p_{n-1}(x) - p_{n-2}(x)$$

この漸化式を用いて、$n$ が偶数なら偶関数、奇数なら奇関数であることを数学的帰納法で示す。 (i) $n=1, 2$ のときは上記の通り成り立つ。 (ii) $n=k, k+1$ のときに成り立つと仮定する。 $n=k+2$ のとき、漸化式より

$$p_{k+2}(-x) = 2(-x) p_{k+1}(-x) - p_k(-x) = -2x p_{k+1}(-x) - p_k(-x)$$

$k$ が偶数のとき、$k+1$ は奇数であるから、仮定より $p_k(-x) = p_k(x)$、$p_{k+1}(-x) = -p_{k+1}(x)$。よって

$$p_{k+2}(-x) = -2x(-p_{k+1}(x)) - p_k(x) = 2x p_{k+1}(x) - p_k(x) = p_{k+2}(x)$$

となり、$k+2$ は偶数であり偶関数となる。

$k$ が奇数のとき、$k+1$ は偶数であるから、仮定より $p_k(-x) = -p_k(x)$、$p_{k+1}(-x) = p_{k+1}(x)$。よって

$$p_{k+2}(-x) = -2x p_{k+1}(x) - (-p_k(x)) = -(2x p_{k+1}(x) - p_k(x)) = -p_{k+2}(x)$$

となり、$k+2$ は奇数であり奇関数となる。

(i), (ii) より、すべての正の整数 $n$ について、$p_n(x)$ は $n$ が偶数ならば偶関数、奇数ならば奇関数である。（証明終）

(3) 漸化式を用いた別解を示す。 定数項を $a_n = p_n(0)$、1次の項の係数を $b_n = p_n'(0)$ とする。 漸化式 $p_{n+2}(x) = 2x p_{n+1}(x) - p_n(x)$ に $x=0$ を代入すると、

$$a_{n+2} = -a_n$$

また、漸化式の両辺を $x$ で微分すると

$$p_{n+2}'(x) = 2p_{n+1}(x) + 2x p_{n+1}'(x) - p_n'(x)$$

$x=0$ を代入すると、

$$b_{n+2} = 2a_{n+1} - b_n$$

$p_1(x) = x, p_2(x) = 2x^2 - 1$ より、$a_1 = 0, a_2 = -1$ および $b_1 = 1, b_2 = 0$ である。 数列 $\{a_n\}$ について、$a_{n+2} = -a_n$ より $n=2k-1$（奇数）のとき、$a_{2k-1} = 0$ $n=2k$（偶数）のとき、$a_{2k} = (-1)^k = (-1)^{\frac{n}{2}}$

数列 $\{b_n\}$ について、 $n=2k-1$（奇数）のとき

$$b_{2k+1} = 2a_{2k} - b_{2k-1} = 2(-1)^k - b_{2k-1}$$

移項すると $b_{2k+1} + b_{2k-1} = 2(-1)^k$ となり、これを繰り返し用いると $b_{2k-1} = (-1)^{k-1}(2k-1)$ と推測でき、帰納法により示される。よって $b_n = (-1)^{\frac{n-1}{2}}n$。 $n=2k$（偶数）のとき

$$b_{2k+2} = 2a_{2k+1} - b_{2k} = 0 - b_{2k} = -b_{2k}$$

$b_2 = 0$ であるから、すべての偶数 $n$ に対して $b_n = 0$。

解説

本問で登場する多項式 $p_n(x)$ は「チェビシェフ多項式（第1種）」として知られる有名な多項式である。$\cos n\theta$ を $\cos\theta$ の式で表すこと、およびその多項式が漸化式を満たすことは入試で頻出のテーマである。 (2) と (3) については、漸化式を用いる解法（解法2）も自然な発想であるが、$\cos n\theta = p_n(\cos\theta)$ という恒等式に着目し、$\theta$ の式として扱う解法（解法1）が非常に鮮やかである。(3)における「定数項は $p_n(0)$、1次の項の係数は $p_n'(0)$ である」という多項式の基本的な性質と、合成関数の微分法の組み合わせは、多項式の特定の係数を求める際に計算量を大幅に削減できる強力な手法である。

答え

(1) 略（証明の詳細は解法を参照） (2) 略（証明の詳細は解法を参照） (3) 定数項：$\cos \frac{n\pi}{2}$ （$n$ が奇数のとき $0$、$n$ が偶数のとき $(-1)^{\frac{n}{2}}$） 1次の項の係数：$n \sin \frac{n\pi}{2}$ （$n$ が奇数のとき $(-1)^{\frac{n-1}{2}} n$、$n$ が偶数のとき $0$）