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大阪大学 1974年文系第4問解説

方針・初手

与えられた $x$ の4次関数 $f(x)$ について、最高次の係数が $1$（正）であることに着目する。最高次の係数が正の4次関数が極大値をもつための必要十分条件は、導関数 $f'(x) = 0$ で定義される3次方程式が異なる3つの実数解をもつことである。したがって、関数 $g(x) = f'(x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる3点で交わるための実数 $a, b$ の条件を求めることに帰着させる。方針としては、「3次関数の極値の積の符号を調べる方法」と、「定数を分離してグラフの交点を調べる方法」の2通りが考えられる。

解法1

$f(x) = x^4 - 6a^2x^2 + bx$ を $x$ について微分すると、

$$ f'(x) = 4x^3 - 12a^2x + b $$

となる。$f(x)$ の最高次の係数は正であるから、$f(x)$ が極大値をもつための必要十分条件は、3次方程式 $f'(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつことである。 $g(x) = f'(x)$ とおく。$g(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつ条件は、$g(x)$ が極大値と極小値をもち、かつ（極大値）$\times$（極小値）$< 0$ となることである。

$$ g'(x) = 12x^2 - 12a^2 = 12(x-a)(x+a) $$

$g(x)$ が極値をもつための条件は、$g'(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつことであるから、$a \neq 0$ である。このとき、$g(x)$ は $x = a$ と $x = -a$ で極値をとる。これらの極値の積が負であればよいので、

$$ g(a)g(-a) < 0 $$

ここで、それぞれの極値は以下のように計算できる。

$$ g(a) = 4a^3 - 12a^3 + b = b - 8a^3 $$

$$ g(-a) = -4a^3 + 12a^3 + b = b + 8a^3 $$

これを条件式に代入すると、

$$ (b - 8a^3)(b + 8a^3) < 0 $$

が得られる。これを展開して整理すると、

$$ b^2 - 64a^6 < 0 $$

となる。なお、この不等式を満たすような実数 $a, b$ が存在するとき、$b^2 \geqq 0$ より $64a^6 > 0$ となるため、極値をもつための条件 $a \neq 0$ は自動的に満たされる。

解法2

方程式 $f'(x) = 0$ を定数分離によって解く。

$$ 4x^3 - 12a^2x + b = 0 $$

を変形して、

$$ -4x^3 + 12a^2x = b $$

$h(x) = -4x^3 + 12a^2x$ とおくと、方程式の実数解の個数は、曲線 $y = h(x)$ と直線 $y = b$ の共有点の個数に等しい。したがって、曲線 $y = h(x)$ と直線 $y = b$ が異なる3つの共有点をもつための条件を求めればよい。

$$ h'(x) = -12x^2 + 12a^2 = -12(x-a)(x+a) $$

(i)

$a = 0$ のとき $h'(x) = -12x^2 \leqq 0$ となり、$h(x)$ は単調減少する。このとき、曲線 $y = h(x)$ と直線 $y = b$ の共有点は常に1個であり、条件を満たさない。

(ii)

$a > 0$ のとき $h(x)$ は $x = -a$ で極小値 $h(-a) = -8a^3$ をとり、$x = a$ で極大値 $h(a) = 8a^3$ をとる。グラフが異なる3点で交わる条件は、（極小値）$< b <$（極大値）であるから、

$$ -8a^3 < b < 8a^3 $$

(iii)

$a < 0$ のとき $h(x)$ は $x = a$ で極小値 $h(a) = 8a^3$ をとり、$x = -a$ で極大値 $h(-a) = -8a^3$ をとる。グラフが異なる3点で交わる条件は、同様に考えて、

$$ 8a^3 < b < -8a^3 $$

以上の（ii）, （iii）より、求める条件は $a$ の符号に関わらず

$$ (b - 8a^3)(b + 8a^3) < 0 $$

にまとめられる。

解説

4次関数の極値の個数と、導関数（3次関数）の実数解の個数の関係を問う典型的な問題である。最高次の係数が正の4次関数は、導関数が異なる3つの実数解をもつときに限り「減少 $\to$ 増加 $\to$ 減少 $\to$ 増加」という増減をたどり、極大値を1つ（および極小値を2つ）もつ。 3次方程式が異なる3つの実数解をもつ条件の処理としては、解法1の「極値の積が負」を利用するのが王道であるが、本問のように文字定数 $b$ が1次式として単独で存在する場合は、解法2のように定数分離を行うことで視覚的に分かりやすく解くことができる。