東京工業大学 1970年 理系 第5問 解説

方針・初手

(1) は自然数 $n$ に関する命題の証明であるため、数学的帰納法を用いるのが定石である。漸化式を作るために加法定理を展開し、三角不等式 $|a + b| \leqq |a| + |b|$ を活用して証明を進める。

(2) は (1) で証明した不等式と、与えられた関数 $f(\theta)$ の条件 (a), (b) を結びつける。積分区間において不等式が保たれる性質（積分法の基本定理）を利用する。

解法1

(1)

数学的帰納法によって証明する。

(i) $n=1$ のとき

$0 \leqq \theta \leqq \pi$ において $\sin \theta \geqq 0$ であるから、$|\sin \theta| = \sin \theta$ となる。

したがって、$|\sin \theta| \leqq 1 \cdot \sin \theta$ は等号が成立し、成り立つ。

(ii) $n=k$ ($k$ は自然数) のとき、与えられた不等式が成り立つと仮定する。

すなわち、

$$ |\sin k\theta| \leqq k \sin \theta $$

が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき、加法定理を用いると、

$$ \sin(k+1)\theta = \sin(k\theta + \theta) = \sin k\theta \cos \theta + \cos k\theta \sin \theta $$

となる。両辺の絶対値をとり、三角不等式 $|a+b| \leqq |a| + |b|$ を用いると、

$$ |\sin(k+1)\theta| = |\sin k\theta \cos \theta + \cos k\theta \sin \theta| \leqq |\sin k\theta||\cos \theta| + |\cos k\theta||\sin \theta| $$

ここで、任意の角 $\alpha$ に対して $|\cos \alpha| \leqq 1$ であり、また $0 \leqq \theta \leqq \pi$ において $\sin \theta \geqq 0$ より $|\sin \theta| = \sin \theta$ であるから、

$$ |\sin k\theta||\cos \theta| + |\cos k\theta||\sin \theta| \leqq |\sin k\theta| \cdot 1 + 1 \cdot \sin \theta = |\sin k\theta| + \sin \theta $$

帰納法の仮定 $|\sin k\theta| \leqq k \sin \theta$ を用いると、

$$ |\sin k\theta| + \sin \theta \leqq k \sin \theta + \sin \theta = (k+1)\sin \theta $$

したがって、

$$ |\sin(k+1)\theta| \leqq (k+1)\sin \theta $$

となり、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ について、 $0 \leqq \theta \leqq \pi$ に対して不等式 $|\sin n\theta| \leqq n \sin \theta$ が成り立つ。

(2)

(1) の結果より、$0 \leqq \theta \leqq \pi$ に対して、

$$ |\sin n\theta| \leqq n \sin \theta $$

が成り立つ。一般に任意の実数 $A$ に対して $A \leqq |A|$ が成り立つから、

$$ \sin n\theta \leqq |\sin n\theta| $$

であり、したがって、

$$ \sin n\theta \leqq n \sin \theta $$

が成り立つ。

条件 (a) より $f(\theta) \geqq 0$ であるから、この不等式の両辺に $f(\theta)$ を掛けても不等号の向きは変わらない。

$$ f(\theta)\sin n\theta \leqq n f(\theta)\sin \theta $$

両辺を $\theta$ について $0$ から $\pi$ まで積分すると、

$$ \int_{0}^{\pi} f(\theta)\sin n\theta d\theta \leqq \int_{0}^{\pi} n f(\theta)\sin \theta d\theta $$

右辺において定数 $n$ を積分の外に出すと、

$$ \int_{0}^{\pi} f(\theta)\sin n\theta d\theta \leqq n \int_{0}^{\pi} f(\theta)\sin \theta d\theta $$

条件 (b) より $\int_{0}^{\pi} f(\theta)\sin \theta d\theta = 1$ であるから、

$$ \int_{0}^{\pi} f(\theta)\sin n\theta d\theta \leqq n \cdot 1 = n $$

となり、与えられた不等式が成り立つことが示された。

解説

(1) のような自然数 $n$ を含む命題の証明には、数学的帰納法が極めて有効である。帰納法のステップにおいては、加法定理を用いて $n=k+1$ の場合を $n=k$ の場合に帰着させること、そして三角不等式を適切に適用することが鍵となる。

(2) は、前問の結果を誘導として用いる典型的な構成である。不等式の証明において、関数が非負であることを用いて両辺に掛けてから積分する操作は、解析学における基本手技である。積分の中身を評価する際に、$\sin n\theta \leqq |\sin n\theta|$ という事実を利用することがポイントとなる。

答え

(1)

$$ |\sin n\theta| \leqq n\sin\theta \qquad (0 \leqq \theta \leqq \pi) $$

(2)

$$ \int_{0}^{\pi} f(\theta)\sin n\theta \, d\theta \leqq n $$