大阪大学 2008年 文系 第3問 解説

方針・初手

(1) は、絶対値記号が2重になっている方程式である。内側から場合分けして外すこともできるが、$a>0$ であることを利用して外側から順に絶対値を外していく方が簡潔に解ける。

(2) は、2つのグラフで囲まれた面積を求める問題である。$f(x)$ と $g(x)$ の式を観察し、両者が $x=3a$ という共通の対称軸を持つことに気付くことが最大のポイントである。平行移動を行って対称軸を $y$ 軸に重ねることで、計算量を大幅に削減できる。また、積分計算の前に2つのグラフの上下関係を正しく判定する必要がある。

解法1

(1)

方程式 $f(x) = a$ より、

$$ ||x-3a|-a| = a $$

問題の条件より $a > 0$ であるから、外側の絶対値を外すと、

$$ |x-3a|-a = a \quad \text{または} \quad |x-3a|-a = -a $$

(i)

$|x-3a|-a = a$ のとき

$$ |x-3a| = 2a $$

$a > 0$ より $2a > 0$ であるから、

$$ x-3a = \pm 2a $$

よって、$x = a, 5a$ となる。

(ii)

$|x-3a|-a = -a$ のとき

$$ |x-3a| = 0 $$

よって、$x = 3a$ となる。

（i）, （ii） より、求める解は $x = a, 3a, 5a$ である。

(2)

$f(x)$ および $g(x)$ を $x$ 軸方向に $-3a$ だけ平行移動した関数をそれぞれ $F(x), G(x)$ とおく。

$$ F(x) = f(x+3a) = ||x+3a-3a|-a| = ||x|-a| $$

$$ G(x) = g(x+3a) = -(x+3a)^2 + 6a(x+3a) - 5a^2 + a = -x^2 + 4a^2 + a $$

求める面積 $S$ は、$y=F(x)$ と $y=G(x)$ のグラフで囲まれた部分の面積に等しい。

$F(-x) = F(x)$ および $G(-x) = G(x)$ が成り立つため、$F(x)$ と $G(x)$ はともに偶関数であり、そのグラフは $y$ 軸に関して対称である。

(1) の結果より、$f(a) = f(3a) = f(5a) = a$ であるから、

$$ F(-2a) = F(0) = F(2a) = a $$

が成り立つ。一方、$G(x)$ について計算すると、

$$ G(-2a) = -(-2a)^2 + 4a^2 + a = a $$

$$ G(2a) = -(2a)^2 + 4a^2 + a = a $$

であるから、$x = \pm 2a$ は $y=F(x)$ と $y=G(x)$ の交点の $x$ 座標である。

ここで、区間 $[-2a, 2a]$ における $F(x)$ と $G(x)$ の大小関係を調べる。 $-2a \le x \le 2a$ において、

$$ G(x) = -x^2 + 4a^2 + a \ge -(2a)^2 + 4a^2 + a = a $$

また、$-2a \le x \le 2a$ より $0 \le |x| \le 2a$ であるから、

$$ -a \le |x|-a \le a $$

よって、

$$ F(x) = ||x|-a| \le a $$

したがって、区間 $[-2a, 2a]$ において $G(x) \ge a \ge F(x)$ が成り立ち、常に $G(x) \ge F(x)$ である。

以上より、対称性を利用して面積 $S$ を計算する。

$$ S = \int_{-2a}^{2a} \{G(x) - F(x)\} dx = 2 \int_{0}^{2a} \{G(x) - F(x)\} dx $$

$$ S = 2 \int_{0}^{2a} (-x^2 + 4a^2 + a) dx - 2 \int_{0}^{2a} ||x|-a| dx $$

ここで、$x \ge 0$ の範囲において $||x|-a| = |x-a|$ である。

第1項の定積分は、

$$ 2 \int_{0}^{2a} (-x^2 + 4a^2 + a) dx = 2 \left[ -\frac{1}{3}x^3 + (4a^2+a)x \right]_{0}^{2a} $$

$$ = 2 \left\{ -\frac{8}{3}a^3 + 2a(4a^2+a) \right\} $$

$$ = 2 \left( \frac{16}{3}a^3 + 2a^2 \right) = \frac{32}{3}a^3 + 4a^2 $$

第2項の絶対値を含む定積分は、

$$ \int_{0}^{2a} |x-a| dx = \int_{0}^{a} (a-x) dx + \int_{a}^{2a} (x-a) dx $$

$$ = \left[ ax - \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{a} + \left[ \frac{1}{2}x^2 - ax \right]_{a}^{2a} $$

$$ = \frac{1}{2}a^2 + \left\{ \left( 2a^2 - 2a^2 \right) - \left( \frac{1}{2}a^2 - a^2 \right) \right\} = a^2 $$

（$y = |x-a|$ のグラフと $x$ 軸がなす図形の面積として、底辺 $a$, 高さ $a$ の直角三角形2つ分と考えて $a^2$ と求めてもよい）

したがって、求める面積 $S$ は、

$$ S = \left( \frac{32}{3}a^3 + 4a^2 \right) - 2 \cdot a^2 = \frac{32}{3}a^3 + 2a^2 $$

解説

絶対値を含む関数と放物線で囲まれた面積を求める典型的な問題である。

そのまま関数を場合分けして積分区間を細かく分割しても答えには辿り着けるが、$x=3a$ という対称性に気付けるかどうかが計算量と正確性を分ける鍵となる。関数を平行移動させて偶関数の性質（$y$ 軸対称）を利用することで、積分区間を半分にし、計算の手間を大きく省くことができる。

また、面積を求める際の上下関係の確認において、$G(x)$ の最小値と $F(x)$ の最大値がともに $a$ であることを利用すると、差の関数 $G(x)-F(x)$ の符号を直接調べるよりもスマートに証明できる。

答え

(1)

$x = a, 3a, 5a$

(2)

$S = \frac{32}{3}a^3 + 2a^2$