東北大学 2003年 文系 第2問 解説

方針・初手

それぞれの2次不等式を因数分解して、集合 $A,B$ を数直線上の区間として表す。

すると、$A\cap B\neq\varnothing$ である条件は、2つの区間が重なる条件に言い換えられる。

解法1

まず、$A$ を定める不等式を因数分解する。

$$ x^2+(1-a^2)x+a^3-2a^2+a = x^2-(a^2-1)x+a(a-1)^2 = (x-(a-1))(x-a(a-1)) $$

したがって

$$ A={x\mid (x-(a-1))(x-a(a-1))\le 0} $$

である。

ここで

$$ a(a-1)-(a-1)=(a-1)^2\ge 0 $$

より、常に

$$ a-1\le a(a-1) $$

が成り立つ。よって

$$ A=[,a-1,\ a(a-1),] $$

である。

次に、$B$ を定める不等式を因数分解する。

$$ x^2+(2a-7)x+a^2-7a+10 = (x-(2-a))(x-(5-a)) $$

よって

$$ B={x\mid (x-(2-a))(x-(5-a))<0} $$

であり、

$$ B=(,2-a,\ 5-a,) $$

となる。

したがって、$A\cap B\neq\varnothing$ であるためには、閉区間 $[,a-1,\ a(a-1),]$ と開区間 $(,2-a,\ 5-a,)$ が重なればよい。

その条件は

$$ a-1<5-a $$

かつ

$$ 2-a<a(a-1) $$

である。

前者より

$$ 2a<6 $$

すなわち

$$ a<3 $$

を得る。

後者より

$$ 2-a<a^2-a $$

すなわち

$$ 2<a^2 $$

であるから

$$ a^2>2 $$

すなわち

$$ a<-\sqrt{2}\quad \text{または}\quad a>\sqrt{2} $$

となる。

以上を合わせると

$$ a<-\sqrt{2}\quad \text{または}\quad \sqrt{2}<a<3 $$

である。

解説

この問題の要点は、2次不等式をそのまま判別式で処理するのではなく、因数分解して区間として読むことである。

特に $A$ の両端は $a-1,\ a(a-1)$ であり、その大小関係を

$$ a(a-1)-(a-1)=(a-1)^2\ge 0 $$

で確定しておくのが重要である。ここを確認しないと、場合分けが必要かどうかが曖昧になる。

あとは、2つの区間が空でなく重なる条件を不等式2本に直せばよい。

答え

$$ a\in (-\infty,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},3) $$

である。