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大阪大学 2022年文系第1問解説

方針・初手

(1)は、三角形の2つの線分の交点の位置ベクトルを求める典型問題である。交点 $P$ が線分 $BN$ と線分 $CM$ 上にあることから、実数を用いて $\overrightarrow{AP}$ を2通りに表し、ベクトルの1次独立性を利用して係数を比較する手法が標準的である。また、図形の性質（メネラウスの定理）を利用して線分の比を求めると、より簡潔に導くことができる。

(2)は、ベクトルの大きさの計算である。$\left|\overrightarrow{AP}\right|^2$ を展開すると $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の内積が現れるため、三角形の辺の長さ $a, b, c$ を用いて内積を表すことがポイントとなる。余弦定理、または $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ の両辺を2乗することで内積を辺の長さで表すことができる。

解法1

(1)

点 $P$ は線分 $BN$ 上にあるので、実数 $s$ ($0 < s < 1$) を用いて、次のように表せる。

$$ \overrightarrow{AP} = (1 - s)\overrightarrow{AB} + s\overrightarrow{AN} $$

点 $N$ は辺 $AC$ を $1 : 2$ に内分する点であるから、$\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ である。これを代入すると、

$$ \overrightarrow{AP} = (1 - s)\overrightarrow{AB} + \frac{s}{3}\overrightarrow{AC} \quad \cdots \text{①} $$

また、点 $P$ は線分 $CM$ 上にあるので、実数 $t$ ($0 < t < 1$) を用いて、次のように表せる。

$$ \overrightarrow{AP} = t\overrightarrow{AM} + (1 - t)\overrightarrow{AC} $$

点 $M$ は辺 $AB$ を $2 : 1$ に内分する点であるから、$\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ である。これを代入すると、

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}t\overrightarrow{AB} + (1 - t)\overrightarrow{AC} \quad \cdots \text{②} $$

$\overrightarrow{AB} \neq \vec{0}$、$\overrightarrow{AC} \neq \vec{0}$ であり、かつ $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ は平行ではない（1次独立である）から、①と②の係数を比較して、次の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} 1 - s = \frac{2}{3}t \\ \frac{s}{3} = 1 - t \end{cases} $$

第2式より $s = 3 - 3t$。これを第1式に代入して、

$$ 1 - (3 - 3t) = \frac{2}{3}t $$

$$ -2 + 3t = \frac{2}{3}t $$

$$ \frac{7}{3}t = 2 $$

$$ t = \frac{6}{7} $$

これを $s = 3 - 3t$ に代入すると、

$$ s = 3 - 3 \cdot \frac{6}{7} = \frac{3}{7} $$

求めた $s$ または $t$ の値を①または②に代入して、

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{7}\overrightarrow{AC} $$

(2)

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ であるから、両辺の大きさを2乗すると、

$$ |\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}|^2 $$

$$ |\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 - 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + |\overrightarrow{AB}|^2 $$

条件より $|\overrightarrow{BC}| = a$、$|\overrightarrow{CA}| = |\overrightarrow{AC}| = b$、$|\overrightarrow{AB}| = c$ であるから、

$$ a^2 = b^2 - 2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + c^2 $$

これを内積について解くと、

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2} $$

(1) の結果より、$\overrightarrow{AP}$ の大きさの2乗は次のようになる。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AP}|^2 &= \left( \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{7}\overrightarrow{AC} \right)^2 \\ &= \frac{1}{49} \left( 16|\overrightarrow{AB}|^2 + 8\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + |\overrightarrow{AC}|^2 \right) \end{aligned} $$

辺の長さと内積の式を代入して整理する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AP}|^2 &= \frac{1}{49} \left\{ 16c^2 + 8 \left( \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2} \right) + b^2 \right\} \\ &= \frac{1}{49} \left\{ 16c^2 + 4(b^2 + c^2 - a^2) + b^2 \right\} \\ &= \frac{1}{49} ( 16c^2 + 4b^2 + 4c^2 - 4a^2 + b^2 ) \\ &= \frac{1}{49} ( -4a^2 + 5b^2 + 20c^2 ) \end{aligned} $$

$|\overrightarrow{AP}| > 0$ であるから、平方根をとって、

$$ AP = \frac{\sqrt{-4a^2 + 5b^2 + 20c^2}}{7} $$

解法2

(1)

$\triangle ABN$ と直線 $MC$ において、メネラウスの定理より以下の関係が成り立つ。

$$ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BP}{PN} \cdot \frac{NC}{CA} = 1 $$

条件より、点 $M$ は辺 $AB$ を $2 : 1$ に内分するので $\frac{AM}{MB} = \frac{2}{1}$ である。また、点 $N$ は辺 $AC$ を $1 : 2$ に内分するので $\frac{NC}{CA} = \frac{2}{3}$ である。これらを代入すると、

$$ \frac{2}{1} \cdot \frac{BP}{PN} \cdot \frac{2}{3} = 1 $$

$$ \frac{BP}{PN} = \frac{3}{4} $$

ゆえに、点 $P$ は線分 $BN$ を $3 : 4$ に内分する点であることがわかる。したがって、$\overrightarrow{AP}$ は次のように求められる。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AP} &= \frac{4\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AN}}{3 + 4} \\ &= \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AN} \end{aligned} $$

ここで、$\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ であるから、

$$ \overrightarrow{AP} = \frac{4}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{7}\overrightarrow{AC} $$

(2) は解法1と同様であるため省略する。

解説

交点の位置ベクトルを求める問題は、ベクトルの分野において最重要のテーマの一つである。解法1のように「2直線の交点は、それぞれの直線上の点であること」を利用し、実数パラメータを2つおいて係数比較をする方法は、どのような図形設定でも通用する汎用性の高い解法である。

一方で、解法2のようにメネラウスの定理やチェバの定理を利用できると、連立方程式を解く手間が省け、計算量を大幅に削減できる。特に試験本番では時間短縮や計算ミスを防ぐ観点から、図形的なアプローチも使いこなせるようにしておくとよい。

(2)のベクトルの大きさの計算では、内積をいかに処理するかが鍵となる。三角形におけるベクトルの内積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ は、余弦定理 $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ を用いて $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos A = c \cdot b \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ と変形することで辺の長さだけで表現できる。この変形は頻出であるため、すぐに引き出せるようにしておきたい。