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大阪大学 2022年文系第3問解説

方針・初手

(1) 左辺の定積分を計算し、右辺の形になるように式変形を行う。普通に展開して積分計算をしてもよいが、被積分関数の一方である $(x - \beta)$ を $(x - \alpha) - (\beta - \alpha)$ と変形し、$(x - \alpha)$ の多項式として積分すると計算がスムーズに進む。

(2) 直線 $l$ の方程式を立式し、放物線との交点の $x$ 座標を求める方程式を作る。交点の $x$ 座標を直接求めるのではなく、$\alpha, \beta$ と置いて解と係数の関係を利用する。面積 $S(k)$ は (1) の結果を利用して $\alpha, \beta$ の式で表せるので、それを $k$ の関数として表し、平方完成によって最小値を求める。

解法1

(1)

左辺の定積分を計算する。

$$ \begin{aligned} \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx &= \int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha) \{ (x - \alpha) - (\beta - \alpha) \} dx \\ &= \int_{\alpha}^{\beta} \{ (x - \alpha)^2 - (\beta - \alpha)(x - \alpha) \} dx \\ &= \left[ \frac{(x - \alpha)^3}{3} - (\beta - \alpha) \frac{(x - \alpha)^2}{2} \right]_{\alpha}^{\beta} \\ &= \frac{(\beta - \alpha)^3}{3} - \frac{(\beta - \alpha)^3}{2} \\ &= -\frac{(\beta - \alpha)^3}{6} \\ &= \frac{-(\beta - \alpha)^3}{6} \\ &= \frac{(\alpha - \beta)^3}{6} \end{aligned} $$

よって、与式が成り立つことが示された。

(2)

点 $A(a, b)$ を通り、傾きが $k$ の直線 $l$ の方程式は

$$ y = k(x - a) + b $$

と表せる。

放物線 $y = x^2$ と直線 $l$ の共有点の $x$ 座標は、方程式 $x^2 = k(x - a) + b$ すなわち

$$ x^2 - kx + ka - b = 0 $$

の実数解である。

この2次方程式の判別式を $D$ とすると

$$ \begin{aligned} D &= (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (ka - b) \\ &= k^2 - 4ka + 4b \\ &= (k - 2a)^2 - 4a^2 + 4b \\ &= (k - 2a)^2 + 4(b - a^2) \end{aligned} $$

となる。

条件 $b > a^2$ より $b - a^2 > 0$ であるから、すべての実数 $k$ に対して $D > 0$ が成り立つ。したがって、放物線と直線 $l$ は常に異なる2点で交わる。

その2交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$（$\alpha < \beta$）とすると、解と係数の関係から

$$ \begin{aligned} \alpha + \beta &= k \\ \alpha\beta &= ka - b \end{aligned} $$

が成り立つ。

放物線と直線 $l$ で囲まれた部分の面積 $S(k)$ は

$$ \begin{aligned} S(k) &= \int_{\alpha}^{\beta} \{ k(x - a) + b - x^2 \} dx \\ &= -\int_{\alpha}^{\beta} (x^2 - kx + ka - b) dx \\ &= -\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx \end{aligned} $$

(1) の結果を用いると

$$ S(k) = -\frac{(\alpha - \beta)^3}{6} = \frac{(\beta - \alpha)^3}{6} $$

となる。

ここで、$(\beta - \alpha)^2$ を $k$ を用いて表すと

$$ \begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= k^2 - 4(ka - b) \\ &= (k - 2a)^2 + 4(b - a^2) \end{aligned} $$

$\alpha < \beta$ より $\beta - \alpha > 0$ であるから

$$ \beta - \alpha = \sqrt{(k - 2a)^2 + 4(b - a^2)} $$

よって、$S(k)$ は次のように表される。

$$ S(k) = \frac{1}{6} \{ (k - 2a)^2 + 4(b - a^2) \}^{\frac{3}{2}} $$

$k$ は実数全体を動くので、$(k - 2a)^2 \geqq 0$ である。したがって、$S(k)$ は $k = 2a$ のとき最小値をとる。

その最小値は

$$ \begin{aligned} S(2a) &= \frac{1}{6} \{ 0 + 4(b - a^2) \}^{\frac{3}{2}} \\ &= \frac{1}{6} \cdot 4^{\frac{3}{2}} \cdot (b - a^2)^{\frac{3}{2}} \\ &= \frac{1}{6} \cdot 8 \cdot (b - a^2)^{\frac{3}{2}} \\ &= \frac{4}{3} (b - a^2)^{\frac{3}{2}} \end{aligned} $$

となる。

解説

定積分における「$\frac{1}{6}$ 公式」の証明とその標準的な応用問題である。

(1) の証明において、単に展開して積分しても正答には辿り着けるが、解答例のように積分変数を上手くまとめる工夫をすると計算の負担とミスを減らすことができる。

(2) は放物線と直線で囲まれた面積の典型問題である。交点の $x$ 座標を直接解の公式で求めると計算が煩雑になるため、解と係数の関係を利用して基本対称式から差の平方 $(\beta - \alpha)^2$ を求めるのが定石である。また、与えられた条件 $b > a^2$ は、点 $A(a, b)$ が放物線 $y = x^2$ の上側に存在することを意味しており、これにより点 $A$ を通る任意の直線が放物線と必ず異なる2点で交わることが保証されている。