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大阪大学 1970年理系第5問解説

方針・初手

与えられた漸化式 $x_{n+1} = x_n(2 - x_n)$ を変形し、規則性を見つけやすい形に直すのが定石である。右辺を平方完成するか、両辺から $1$ を引くことで、$(x_n - 1)^2$ の形を作り出せることに気づくのが最初のステップとなる。

解法1

(1)

与えられた漸化式は以下の通りである。

$$ x_{n+1} = 2x_n - x_n^2 $$

この式の両辺から $1$ を引くと、次のように変形できる。

$$ x_{n+1} - 1 = -(x_n^2 - 2x_n + 1) $$

$$ x_{n+1} - 1 = -(x_n - 1)^2 $$

さらに両辺に $-1$ を掛けることで、以下の式を得る。

$$ 1 - x_{n+1} = (1 - x_n)^2 $$

この漸化式を繰り返し用いると、次のように展開できる。

$$ \begin{aligned} 1 - x_n &= (1 - x_{n-1})^2 \\ &= \left\{ (1 - x_{n-2})^2 \right\}^2 = (1 - x_{n-2})^4 \\ &= \left\{ (1 - x_{n-3})^2 \right\}^4 = (1 - x_{n-3})^8 \\ &\ \ \vdots \\ &= (1 - x_1)^{2^{n-1}} \end{aligned} $$

したがって、一般項 $x_n$ は次のように表される。

$$ x_n = 1 - (1 - x_1)^{2^{n-1}} $$

(2)

(1) の結果より、$n \to \infty$ としたときに $x_n$ が収束するための条件は、数列 $\left\{ (1 - x_1)^{2^{n-1}} \right\}$ が収束することである。ここで、$A = 1 - x_1$ とおき、数列 $\left\{ A^{2^{n-1}} \right\}$ の極限を考える。

$n \to \infty$ のとき $2^{n-1} \to \infty$ であり、また $n \geqq 2$ のとき $2^{n-1}$ は正の偶数であることに注意する。

(i) $|A| < 1$ のとき $A^{2^{n-1}} \to 0$ となり、元の数列は極限値 $1$ に収束する。

(ii) $A = 1$ のとき常に $A^{2^{n-1}} = 1$ であり、元の数列は極限値 $0$ に収束する。

(iii) $A = -1$ のとき $n \geqq 2$ において $2^{n-1}$ は偶数であるため、$A^{2^{n-1}} = (-1)^{2^{n-1}} = 1$ となる。したがって、定数数列 $1, 1, \dots$ となり、元の数列は極限値 $0$ に収束する。

(iv) $|A| > 1$ のとき $A^{2^{n-1}} \to \infty$ となり、元の数列は発散する。

以上 (i) から (iv) より、数列 $\left\{ A^{2^{n-1}} \right\}$ が収束する条件は $-1 \leqq A \leqq 1$ である。 $A = 1 - x_1$ を代入すると、求める条件は以下のようになる。

$$ -1 \leqq 1 - x_1 \leqq 1 $$

各辺から $1$ を引いて、以下の式を得る。

$$ -2 \leqq -x_1 \leqq 0 $$

さらに $-1$ を掛けて不等号の向きを反転させると、求める範囲を得る。

$$ 0 \leqq x_1 \leqq 2 $$

解説

2次関数を用いた非線形漸化式の典型問題である。$f(x) = x(2-x) = 1 - (x-1)^2$ という形に気づくことができれば、(1) は容易に立式できる。このように、$x_{n+1} - \alpha = c(x_n - \alpha)^k$ の形に持ち込める漸化式は頻出のパターンである。

(2) では、公比が一定である等比数列の極限とは異なり、指数部分が $2^{n-1}$ と偶数に限定されている点に注意が必要である。一般の指数 $n$ であれば公比が $-1$ のときは振動するが、本問では $(-1)^{\text{偶数}} = 1$ となるため収束条件に含まれる。この点を見落とさず、丁寧に場合分けを行って極限を調べることが重要である。