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大阪大学 1965年理系第5問解説

方針・初手

点 $P_n$ と $P_{n+1}$ を結ぶ直線の傾きの条件から、$x_n$ と $x_{n+1}$ の間に成り立つ関係式（漸化式）を導きます。その後、求めたいものが奇数番目の項 $x_{2n+1}$ であることに着目し、奇数番目の項からなる数列の漸化式を立てるか、すべての $n$ に対する一般項 $x_n$ を求めてから $n$ を $2n+1$ に置き換えることで解答を得ます。最後に $n \to \infty$ の極限を調べます。

解法1

放物線 $y=x^2$ において、原点 $(0,0)$ を通り傾き $1$ の直線の方程式は $y=x$ である。これを放物線の方程式と連立すると、

$$ x^2 = x $$

$$ x(x-1) = 0 $$

原点とは異なる交点が $P_1$ であるから、$x \neq 0$ より $x_1 = 1$ である。次に、自然数 $n$ について、点 $P_n(x_n, x_n^2)$ と点 $P_{n+1}(x_{n+1}, x_{n+1}^2)$ を通る直線の傾きは $2^{-n}$ である。 $P_{n+1}$ は $P_n$ とは異なる放物線上の点であるから $x_{n+1} \neq x_n$ であり、直線の傾きは次のように表せる。

$$ \frac{x_{n+1}^2 - x_n^2}{x_{n+1} - x_n} = 2^{-n} $$

$$ \frac{(x_{n+1} + x_n)(x_{n+1} - x_n)}{x_{n+1} - x_n} = 2^{-n} $$

$$ x_{n+1} + x_n = 2^{-n} \quad \cdots \text{①} $$

ここで、$x_{2n+1}$ を直接求めるために、奇数番目の項のみの関係式を導く。 ①式において、$n$ を $2n$ とした式と、$n$ を $2n-1$ とした式をそれぞれ書くと以下のようになる。

$$ x_{2n+1} + x_{2n} = 2^{-2n} $$

$$ x_{2n} + x_{2n-1} = 2^{-(2n-1)} $$

上の式から下の式を辺々引くと $x_{2n}$ が消去され、次の式を得る。

$$ x_{2n+1} - x_{2n-1} = 2^{-2n} - 2^{-2n+1} $$

$$ x_{2n+1} - x_{2n-1} = \left(\frac{1}{4}\right)^n - 2 \left(\frac{1}{4}\right)^n $$

$$ x_{2n+1} - x_{2n-1} = - \left(\frac{1}{4}\right)^n $$

これは、数列 $\{x_{2n-1}\}$ （$n=1,2,3,\dots$）の階差数列の第 $n$ 項が $-\left(\frac{1}{4}\right)^n$ であることを示している。したがって、$n \ge 1$ のとき、第 $(n+1)$ 項である $x_{2n+1}$ は次のように求められる。

$$ x_{2n+1} = x_1 + \sum_{k=1}^n \left\{ - \left(\frac{1}{4}\right)^k \right\} $$

$$ x_{2n+1} = 1 - \frac{\frac{1}{4} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n \right\}}{1 - \frac{1}{4}} $$

$$ x_{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^n \right\} $$

$$ x_{2n+1} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^n $$

$$ x_{2n+1} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4^n} $$

（この式は $n=0$ とすると $x_1 = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$ となり、$n=0$ のときも成立する。）

次に、点 $P_1, P_3, P_5, \cdots$ が近づく点を調べるため、$n \to \infty$ としたときの点 $P_{2n+1}(x_{2n+1}, y_{2n+1})$ の極限を考える。 $x$ 座標の極限は、

$$ \lim_{n \to \infty} x_{2n+1} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4^n} \right) = \frac{2}{3} $$

点 $P_{2n+1}$ は放物線 $y=x^2$ 上にあるので、$y_{2n+1} = (x_{2n+1})^2$ が成り立つ。したがって $y$ 座標の極限は、

$$ \lim_{n \to \infty} y_{2n+1} = \lim_{n \to \infty} (x_{2n+1})^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} $$

よって、点 $P_1, P_3, P_5, \cdots$ は点 $\left( \frac{2}{3}, \frac{4}{9} \right)$ に近づく。

解法2

漸化式 $x_{n+1} + x_n = 2^{-n}$ から一般項 $x_n$ を求めて計算する。両辺に $(-1)^{n+1}$ を掛けると、

$$ (-1)^{n+1} x_{n+1} + (-1)^{n+1} x_n = (-1)^{n+1} \left(\frac{1}{2}\right)^n $$

$$ (-1)^{n+1} x_{n+1} - (-1)^n x_n = - \left( -\frac{1}{2} \right)^n $$

ここで $a_n = (-1)^n x_n$ とおくと、$a_1 = (-1)^1 \cdot 1 = -1$ であり、

$$ a_{n+1} - a_n = - \left( -\frac{1}{2} \right)^n $$

数列 $\{a_n\}$ は階差数列をもつから、$n \ge 2$ のとき、

$$ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left\{ - \left( -\frac{1}{2} \right)^k \right\} $$

$$ a_n = -1 - \frac{-\frac{1}{2} \left\{ 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\}}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} $$

$$ a_n = -1 + \frac{1}{3} \left\{ 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\} $$

$$ a_n = -\frac{2}{3} - \frac{1}{3} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} $$

この式は $n=1$ のとき $a_1 = -\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = -1$ となり、$n=1$ のときも成り立つ。 $x_n = (-1)^n a_n$ であるから、両辺に $(-1)^n$ を掛けて $x_n$ を求める。

$$ x_n = (-1)^n \left\{ -\frac{2}{3} - \frac{1}{3} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\} $$

$$ x_n = \frac{2}{3} (-1)^{n+1} - \frac{1}{3} (-1)^n \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}} $$

$$ x_n = \frac{2}{3} (-1)^{n+1} + \frac{1}{3 \cdot 2^{n-1}} $$

ここで、求めるのは $x_{2n+1}$ であるから、$n$ を $2n+1$ に置き換える。

$$ x_{2n+1} = \frac{2}{3} (-1)^{2n+2} + \frac{1}{3 \cdot 2^{(2n+1)-1}} $$

$(-1)^{2n+2} = 1$、$2^{2n} = 4^n$ であるから、

$$ x_{2n+1} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4^n} $$

近づく点の極限については解法1と同様であり、点 $\left( \frac{2}{3}, \frac{4}{9} \right)$ に近づく。

解説

放物線上の2点を結ぶ直線の傾きの式 $\frac{\beta^2 - \alpha^2}{\beta - \alpha} = \alpha + \beta$ は頻出の基本処理です。本問ではこの性質から導かれる $x_{n+1} + x_n = 2^{-n}$ という隣接二項間漸化式をいかに処理するかがポイントになります。解法1のように、求めるものが $x_{2n+1}$ であることを見越して、番号を1つずらした式を引くことで不要な偶数項を消去し、奇数項のみの階差数列に持ち込む手法は計算量が減り見通しが良くなります。解法2は $(-1)^{n+1}$ を掛けるという典型的な工夫を用いて一般項を直接求める手法であり、こちらも確実な解法です。