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大阪大学 1973年理系第4問解説

方針・初手

与えられた等式を整理し、$x - \frac{1}{y - \frac{1}{z}} = \frac{7}{5}$ という形に変形する。右辺の第2項 $\frac{1}{y - \frac{1}{z}}$ のとりうる値の範囲を、与えられた条件 $|y| \geqq 2$ および $|z| \geqq 2$ から絞り込むことで、整数 $x$ の値を特定するのが定石である。

解法1

与えられた等式を変形する。

$$ 1 - \frac{1}{x - \frac{1}{y - \frac{1}{z}}} = \frac{2}{7} $$

$$ \frac{1}{x - \frac{1}{y - \frac{1}{z}}} = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7} $$

両辺の逆数をとると、次の式を得る。

$$ x - \frac{1}{y - \frac{1}{z}} = \frac{7}{5} \quad \cdots \text{①} $$

条件 $|z| \geqq 2$ より、整数 $z$ は $z \leqq -2$ または $z \geqq 2$ であるから、以下の不等式が成り立つ。

$$ -\frac{1}{2} \leqq \frac{1}{z} \leqq \frac{1}{2} \quad \left(\text{ただし } \frac{1}{z} \neq 0\right) $$

また、条件 $|y| \geqq 2$ より、整数 $y$ について $y \leqq -2$ または $y \geqq 2$ の場合分けをして、$y - \frac{1}{z}$ の値の範囲を調べる。

(ア)

$y \geqq 2$ のとき

$$ y - \frac{1}{z} \geqq 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$

(イ)

$y \leqq -2$ のとき

$$ y - \frac{1}{z} \leqq -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} $$

（ア）および（イ）より、いずれの場合も $\left|y - \frac{1}{z}\right| \geqq \frac{3}{2}$ が成り立つ。この逆数をとると、以下の不等式を得る。

$$ \left| \frac{1}{y - \frac{1}{z}} \right| \leqq \frac{2}{3} $$

これと式①より、$x$ の範囲を絞り込む。

$$ x = \frac{7}{5} + \frac{1}{y - \frac{1}{z}} $$

$$ \frac{7}{5} - \frac{2}{3} \leqq x \leqq \frac{7}{5} + \frac{2}{3} $$

$$ \frac{11}{15} \leqq x \leqq \frac{31}{15} $$

$x$ は整数であるから、この不等式を満たす $x$ は $x = 1, 2$ に限られる。

(i)

$x = 1$ のとき

式①に代入して整理する。

$$ 1 - \frac{1}{y - \frac{1}{z}} = \frac{7}{5} $$

$$ \frac{1}{y - \frac{1}{z}} = -\frac{2}{5} $$

逆数をとると、以下のようになる。

$$ y - \frac{1}{z} = -\frac{5}{2} $$

$$ \frac{1}{z} = y + \frac{5}{2} $$

$-\frac{1}{2} \leqq \frac{1}{z} \leqq \frac{1}{2}$ であるから、

$$ -\frac{1}{2} \leqq y + \frac{5}{2} \leqq \frac{1}{2} $$

$$ -3 \leqq y \leqq -2 $$

$y$ は整数かつ $|y| \geqq 2$ であるため、$y = -3, -2$ となる。

$y = -3$ のとき、$\frac{1}{z} = -3 + \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}$ より $z = -2$ となり、$|z| \geqq 2$ を満たす。 $y = -2$ のとき、$\frac{1}{z} = -2 + \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$ より $z = 2$ となり、$|z| \geqq 2$ を満たす。

(ii)

$x = 2$ のとき

式①に代入して整理する。

$$ 2 - \frac{1}{y - \frac{1}{z}} = \frac{7}{5} $$

$$ \frac{1}{y - \frac{1}{z}} = \frac{3}{5} $$

逆数をとると、以下のようになる。

$$ y - \frac{1}{z} = \frac{5}{3} $$

$$ \frac{1}{z} = y - \frac{5}{3} $$

$-\frac{1}{2} \leqq \frac{1}{z} \leqq \frac{1}{2}$ であるから、

$$ -\frac{1}{2} \leqq y - \frac{5}{3} \leqq \frac{1}{2} $$

$$ \frac{7}{6} \leqq y \leqq \frac{13}{6} $$

$y$ は整数かつ $|y| \geqq 2$ であるため、$y = 2$ となる。

$y = 2$ のとき、$\frac{1}{z} = 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$ より $z = 3$ となり、$|z| \geqq 2$ を満たす。

以上（i）, （ii）より、すべての解が求まった。

解説

有理数を連分数の形に展開する問題、あるいは連分数方程式を満たす整数を求める問題である。この問題の鍵は、変数 $y, z$ の絶対値が2以上であるという条件を用いて、分数の部分の絶対値が1より小さくなること（今回は $\frac{2}{3}$ 以下であること）を見抜く点にある。この評価さえできれば、最初の整数 $x$ の候補を大きく絞り込むことができ、以降の処理は一本道となる。