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大阪大学 1979年理系第4問解説

方針・初手

（1）は区間 $I_n$ で絶対値がついた関数 $|f(x)|$ の最大値を考える問題である。まずは変数変換 $x = n\pi + t \ (0 \leqq t \leqq \pi)$ を行い、絶対値を外して $t$ の関数として扱うのが定石である。微分して増減を調べ、最大値を与える $a_n$ が満たす関係式を導出した後、はさみうちの原理を用いて極限を求める。

（2）は具体的な面積の計算と極限である。$S_n$ は部分積分を用いて $n$ の式として具体的に計算できる。$T_n$ は長方形の面積であり、底辺の長さと (1) で考察した高さを用いて表す。得られた式を元に、(1) の極限の結果を利用して式変形を行う。

解法1

(1)

区間 $I_n$ は $[n\pi, (n+1)\pi]$ であるから、$x = n\pi + t$ とおくと、$0 \leqq t \leqq \pi$ である。このとき、

$$ f(x) = f(n\pi + t) = (n\pi + t) \sin(n\pi + t) = (n\pi + t) (-1)^n \sin t $$

となる。$0 \leqq t \leqq \pi$ において $\sin t \geqq 0$、$n\pi + t > 0$ であるから、

$$ |f(x)| = (n\pi + t) \sin t $$

となる。これを $g(t)$ とおく。$g(t)$ を $t$ について微分すると、

$$ g'(t) = \sin t + (n\pi + t) \cos t $$

$$ g''(t) = \cos t + \cos t - (n\pi + t) \sin t = 2\cos t - (n\pi + t) \sin t $$

区間 $\frac{\pi}{2} < t < \pi$ においては、$\cos t < 0$、$\sin t > 0$、$n\pi + t > 0$ であるから、$g''(t) < 0$ が成り立つ。したがって、$g'(t)$ は区間 $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ で単調に減少する。ここで、区間の端点における $g'(t)$ の値を調べると、

$$ g'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + \left(n\pi + \frac{\pi}{2}\right) \cdot 0 = 1 > 0 $$

$$ g'(\pi) = 0 + (n\pi + \pi) \cdot (-1) = -(n+1)\pi < 0 $$

であるから、中間値の定理より $g'(t) = 0$ を満たす $t$ が区間 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ にただ一つ存在する。 $0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲では $\sin t \geqq 0$ かつ $\cos t \geqq 0$ (等号は同時には成り立たない) であるため $g'(t) > 0$ であり、$g(t)$ は単調に増加する。

以上より、$g(t)$ は $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 内のただ一つの点で極大かつ最大となる。この $t$ が問題文で定義された $a_n$ である。 $a_n$ は $g'(a_n) = 0$ を満たすので、

$$ \sin a_n + (n\pi + a_n) \cos a_n = 0 $$

が成り立つ。$\frac{\pi}{2} < a_n < \pi$ より $\cos a_n \neq 0$ であるから、移項して整理すると、

$$ -\cos a_n = \frac{\sin a_n}{n\pi + a_n} $$

となる。ここで、$0 < \sin a_n \leqq 1$ であり、$n\pi + a_n > n\pi > 0$ であるから、

$$ 0 < -\cos a_n < \frac{1}{n\pi} $$

が成り立つ。 $n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n\pi} \to 0$ であるから、はさみうちの原理により、

$$ \lim_{n \to \infty} (-\cos a_n) = 0 $$

すなわち $\lim_{n \to \infty} \cos a_n = 0$ となる。 $\frac{\pi}{2} < a_n < \pi$ の範囲で関数 $\cos t$ は連続かつ狭義単調減少であるから、$\cos a_n \to 0$ となるのは $a_n \to \frac{\pi}{2}$ のときである。したがって、

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{\pi}{2} $$

が示された。

(2)

まず、$S_n$ を求める。(1) の変数変換 $x = n\pi + t$ を用いると、$dx = dt$ であり、積分区間は $0$ から $\pi$ となる。

$$ S_n = \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} |f(x)| dx = \int_{0}^{\pi} (n\pi + t) \sin t dt $$

部分積分法を用いて計算すると、

$$ \int_{0}^{\pi} (n\pi + t) \sin t dt = \Bigl[ -(n\pi + t) \cos t \Bigr]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} 1 \cdot (-\cos t) dt $$

$$ = - (n\pi + \pi) \cos \pi - (-n\pi \cos 0) + \Bigl[ \sin t \Bigr]_{0}^{\pi} $$

$$ = (n+1)\pi + n\pi + 0 = (2n+1)\pi $$

次に、$T_n$ を求める。$T_n$ は、底辺が区間 $I_n$、高さが区間 $I_n$ における $|f(x)|$ の最大値である長方形の面積である。底辺の長さは $(n+1)\pi - n\pi = \pi$ であり、高さは (1) より $g(a_n) = (n\pi + a_n) \sin a_n$ である。したがって、

$$ T_n = \pi (n\pi + a_n) \sin a_n $$

となる。求める極限は、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{T_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1)\pi}{\pi (n\pi + a_n) \sin a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{(n\pi + a_n) \sin a_n} $$

分母分子を $n$ で割ると、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{\left(\pi + \frac{a_n}{n}\right) \sin a_n} $$

となる。ここで、$n \to \infty$ のとき、(1) より $a_n \to \frac{\pi}{2}$ であるから、$\sin a_n \to \sin \frac{\pi}{2} = 1$ である。また、$0 \leqq a_n \leqq \pi$ より $0 \leqq \frac{a_n}{n} \leqq \frac{\pi}{n}$ であり、$\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{n} = 0$ であるからはさみうちの原理より $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 0$ となる。したがって、

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{T_n} = \frac{2 + 0}{(\pi + 0) \cdot 1} = \frac{2}{\pi} $$

解説

三角関数と多項式の積で表される関数の極値を扱う典型問題である。 (1) では、方程式 $g'(t) = 0$ を満たす解 $a_n$ を陽に求めることはできない。このように「解けない方程式の解の極限」を求める問題では、解が満たす関係式から不等式を作り、はさみうちの原理を用いるのが定石である。本問では $a_n$ の存在範囲が $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ であることを利用して、三角関数の値の範囲から不等式を構築している。 (2) は (1) の結果を用いる極限計算である。$n$ の多項式部分から最高次数の $n$ をくくり出す基本操作を行えば、見通しよく極限を求めることができる。