大阪大学 1989年 理系 第2問 解説

方針・初手

与えられた $x_1, x_2$ の値から、まずはパラメータ $r$ と $\theta$ を決定する。$x_n$ の一般項が定まった後、無限級数の和を計算する。$\sin n\theta$ を含む数列の和は、複素数 $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ を用いて無限等比級数 $\sum z^n$ の虚部として捉える方法や、数列の周期性に注目して項をまとめる方法がある。

解法1

条件より、

$$ x_1 = r \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{4} $$

$$ x_2 = r^2 \sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{8} $$

$x_2$ の式に2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ を用いると、

$$ r^2 (2 \sin \theta \cos \theta) = \frac{\sqrt{3}}{8} $$

$$ 2r \cos \theta (r \sin \theta) = \frac{\sqrt{3}}{8} $$

これに $r \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{4}$ を代入して、

$$ 2r \cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8} $$

$$ \frac{\sqrt{3}}{2} r \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{8} $$

$$ r \cos \theta = \frac{1}{4} $$

得られた $r \sin \theta$ と $r \cos \theta$ の式をそれぞれ2乗して足し合わせる。

$$ (r \sin \theta)^2 + (r \cos \theta)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 $$

$$ r^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = \frac{3}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $$

$r > 0$ であるから、

$$ r = \frac{1}{2} $$

このとき、

$$ \frac{1}{2} \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{4} \iff \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ \frac{1}{2} \cos \theta = \frac{1}{4} \iff \cos \theta = \frac{1}{2} $$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ を満たす $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{3}$ である。

したがって、$x_n$ は次のように表される。

$$ x_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n \sin \frac{n\pi}{3} $$

ここで、複素数 $z = \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$ を考える。ド・モアブルの定理より、

$$ z^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n \left( \cos \frac{n\pi}{3} + i \sin \frac{n\pi}{3} \right) $$

となるため、$x_n$ は $z^n$ の虚部である。

$|z| = \frac{1}{2} < 1$ であるから、無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} z^n$ は収束する。その和 $S$ は、

$$ S = \sum_{n=1}^{\infty} z^n = \frac{z}{1 - z} $$

$z$ を直交座標表示に直すと、

$$ z = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i $$

これを $S$ の式に代入する。

$$ S = \frac{\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i}{1 - \left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i\right)} = \frac{\frac{1 + \sqrt{3}i}{4}}{\frac{3 - \sqrt{3}i}{4}} = \frac{1 + \sqrt{3}i}{3 - \sqrt{3}i} $$

分母を実数化するために、分母と分子に $3 + \sqrt{3}i$ を掛ける。

$$ S = \frac{(1 + \sqrt{3}i)(3 + \sqrt{3}i)}{(3 - \sqrt{3}i)(3 + \sqrt{3}i)} = \frac{3 + \sqrt{3}i + 3\sqrt{3}i + 3i^2}{9 - 3i^2} = \frac{3 + 4\sqrt{3}i - 3}{9 - (-3)} = \frac{4\sqrt{3}i}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3}i $$

求める無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ は $S$ の虚部であるから、

$$ \sum_{n=1}^{\infty} x_n = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

解法2

$r = \frac{1}{2}, \theta = \frac{\pi}{3}$ より $x_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n \sin \frac{n\pi}{3}$ となるまでの過程は解法1と同じである。

$\sin \frac{n\pi}{3}$ は $n$ の値によって次のように周期的に変化する。

• $n = 1$ のとき、$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $n = 2$ のとき、$\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $n = 3$ のとき、$\sin \pi = 0$
• $n = 4$ のとき、$\sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $n = 5$ のとき、$\sin \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $n = 6$ のとき、$\sin 2\pi = 0$

以降は周期 6 で同じ値を繰り返す。そこで、正の整数 $k$ を用いて、第 $6k-5$ 項から第 $6k$ 項までの 6 項分をまとめて計算する。

$$ X_k = x_{6k-5} + x_{6k-4} + x_{6k-3} + x_{6k-2} + x_{6k-1} + x_{6k} $$

とおく。各項を計算すると、

$$ x_{6k-5} = \left(\frac{1}{2}\right)^{6k-5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6k} = 16\sqrt{3} \left(\frac{1}{64}\right)^k $$

$$ x_{6k-4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{6k-4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6k} = 8\sqrt{3} \left(\frac{1}{64}\right)^k $$

$$ x_{6k-3} = 0 $$

$$ x_{6k-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{6k-2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6k} = -2\sqrt{3} \left(\frac{1}{64}\right)^k $$

$$ x_{6k-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{6k-1} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6k} = -\sqrt{3} \left(\frac{1}{64}\right)^k $$

$$ x_{6k} = 0 $$

これらを足し合わせると、

$$ X_k = (16\sqrt{3} + 8\sqrt{3} + 0 - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 0) \left(\frac{1}{64}\right)^k = 21\sqrt{3} \left(\frac{1}{64}\right)^k $$

したがって、求める無限級数は $X_k$ の和として計算できる。

$$ \sum_{n=1}^{\infty} x_n = \sum_{k=1}^{\infty} X_k = \sum_{k=1}^{\infty} 21\sqrt{3} \left(\frac{1}{64}\right)^k $$

これは初項が $21\sqrt{3} \cdot \frac{1}{64} = \frac{21\sqrt{3}}{64}$、公比が $\frac{1}{64}$ の無限等比級数である。公比の絶対値が 1 より小さいため収束し、その和は

$$ \frac{\frac{21\sqrt{3}}{64}}{1 - \frac{1}{64}} = \frac{\frac{21\sqrt{3}}{64}}{\frac{63}{64}} = \frac{21\sqrt{3}}{63} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

となる。

解説

三角関数と指数関数が掛け合わされた数列の無限級数を求める典型問題である。まずは与えられた最初の2項の情報から、数列のパラメータである $r$ と $\theta$ を特定することが第一歩となる。その際、2倍角の公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を用いて $\cos\theta$ を引き出すのが定石である。 $r$ と $\theta$ が求まった後の和の計算については、主に2つのアプローチがある。解法1のように複素数平面の知識を利用して $r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) = (re^{i\theta})^n$ とみなし、等比数列の和に帰着させる方法が最も見通しがよく計算も簡潔に済む。一方、解法2のように三角関数の値が周期的に変化することを利用し、1周期分をまとめて新しい等比数列を作る方法も、数学II・Bの範囲内で完結する堅実な手法として重要である。

答え

$$ \frac{\sqrt{3}}{3} $$