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北海道大学 1975年理系第3問解説

方針・初手

等差数列 $\{ \alpha_n \}$ の一般項を $\alpha$ と $\beta$ で表し、数列 $\{ \sin \alpha_n \}$ が等比数列になる条件を立式する。等比数列の隣接する3項間の関係式（等比中項の性質）から $\beta$ を決定し、それを用いて公比と偏角を求める。

解法1

(1)

等差数列 $\{ \alpha_n \}$ の初項が $\alpha$、公差が $\beta$ であるから、その一般項は

$$ \alpha_n = \alpha + (n-1)\beta $$

と表される。数列 $\{ \sin \alpha_n \}$ が等比数列をなすとき、隣接する3項 $\sin \alpha_1$, $\sin \alpha_2$, $\sin \alpha_3$ について

$$ (\sin \alpha_2)^2 = \sin \alpha_1 \sin \alpha_3 $$

が成り立つ。$\alpha_1 = \alpha$、$\alpha_2 = \alpha + \beta$、$\alpha_3 = \alpha + 2\beta$ を代入すると

$$ \sin^2(\alpha + \beta) = \sin \alpha \sin(\alpha + 2\beta) $$

となる。左辺に半角の公式、右辺に積和の公式を用いると

$$ \frac{1 - \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} = -\frac{1}{2} \{ \cos(2\alpha + 2\beta) - \cos(-2\beta) \} $$

$$ \frac{1 - \cos(2\alpha + 2\beta)}{2} = -\frac{1}{2} \{ \cos(2\alpha + 2\beta) - \cos 2\beta \} $$

両辺に $2$ を掛けて整理する。

$$ 1 - \cos(2\alpha + 2\beta) = -\cos(2\alpha + 2\beta) + \cos 2\beta $$

$$ \cos 2\beta = 1 $$

$\beta$ は実数であるから、$k$ を整数として

$$ 2\beta = 2k\pi $$

$$ \beta = k\pi $$

このとき、

$$ \sin \alpha_n = \sin \{ \alpha + (n-1)k\pi \} $$

となり、$\sin \alpha \neq 0$ より各項は $0$ にならない。隣接する項の比をとると公比が一定（(2)で後述）となるため、数列 $\{ \sin \alpha_n \}$ は確かに等比数列となる。よって、求める $\beta$ は $k\pi$ である（$k$ は整数）。

(2)

(1) の結果より、$\beta = k\pi$ （$k$ は整数）であるから、第 $n+1$ 項は次のように変形できる。

$$ \sin \alpha_{n+1} = \sin \{ \alpha_n + \beta \} $$

$$ \sin \alpha_{n+1} = \sin (\alpha_n + k\pi) $$

加法定理を用いると

$$ \sin (\alpha_n + k\pi) = \sin \alpha_n \cos k\pi + \cos \alpha_n \sin k\pi $$

整数 $k$ に対して $\sin k\pi = 0$ であるから

$$ \sin \alpha_{n+1} = (\cos k\pi) \sin \alpha_n $$

$\sin \alpha_1 = \sin \alpha \neq 0$ よりすべての項が $0$ でないため、この数列は公比 $\cos k\pi$ の等比数列である。 $\cos k\pi = (-1)^k$ であるから、求める公比は $(-1)^k$ である。

(3)

ド・モアブルの定理より

$$ (\cos \alpha_n + i \sin \alpha_n)^n = \cos(n\alpha_n) + i \sin(n\alpha_n) $$

であるから、この複素数の偏角の1つは $n\alpha_n$ である。ここで、$n\alpha_n$ を計算すると

$$ n\alpha_n = n \{ \alpha + (n-1)\beta \} $$

$$ n\alpha_n = n\alpha + n(n-1)k\pi $$

$n(n-1)$ は連続する2つの整数の積であるため、必ず偶数である。したがって、$n(n-1)k\pi$ は $2\pi$ の整数倍となる。複素数の偏角において $2\pi$ の整数倍は同一視できるため、求める偏角は $n\alpha$ である。

解説

数列、三角関数、複素数平面の融合問題である。 (1) で等比数列の条件として等比中項の関係式 $(\text{中央の項})^2 = (\text{両端の項の積})$ を用いるのが定石である。積和の公式や半角の公式を用いて式を簡略化する計算力が問われる。 (3) ではド・モアブルの定理により偏角が $n\alpha_n$ となることを示し、$n(n-1)$ が偶数であることを利用して $2\pi$ の整数倍を消去する論証がポイントとなる。