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大阪大学 1989年理系第3問解説

方針・初手

点 $A$ を原点とする直交座標系を設定し、長方形の辺が座標軸上にのるように配置する。そのうえで、点 $B, C$ の位置を偏角を用いて表し、長方形の面積を偏角の1変数関数として立式する。

「点 $B, C$ が辺上にある」という条件は、座標の大小関係の不等式に帰着される。この不等式から偏角の定義域を絞り込み、面積を表す関数の最大値を求める。その際、$\triangle ABC$ が鋭角三角形であるという条件が定義域の評価にどう効いてくるかを丁寧に確認することがポイントである。

解法1

点 $A$ を原点 $(0,0)$ とし、直線 $AF$ を $x$ 軸、直線 $AD$ を $y$ 軸の正の方向に定める直交座標系を設定する。点 $F$ の座標を $(x, 0)$、点 $D$ の座標を $(0, y)$ とおくと、$x > 0, y > 0$ であり、点 $E$ の座標は $(x, y)$ となる。このとき、長方形 $ADEF$ の面積 $S$ は $S = xy$ である。

条件 (i) より、点 $B$ は線分 $DE$ 上にあるから、$B(t, y)$ ただし $0 \le t \le x$ とおける。条件 (ii) より、点 $C$ は線分 $EF$ 上にあるから、$C(x, s)$ ただし $0 \le s \le y$ とおける。

$x$ 軸の正の向きからベクトル $\vec{AB}$、$\vec{AC}$ がなす角（偏角）をそれぞれ $\alpha, \beta$ とおく。 $\triangle ABC$ において $AB=c, AC=b$ であるから、点 $B, C$ の座標はそれぞれ $B(c\cos\alpha, c\sin\alpha)$ $C(b\cos\beta, b\sin\beta)$ となる。これより、各座標成分は $t = c\cos\alpha, \quad y = c\sin\alpha$ $x = b\cos\beta, \quad s = b\sin\beta$ と表せる。長方形の配置関係から $t \ge 0, s \ge 0, x > 0, y > 0$ であり、ベクトル $\vec{AB}$ は $\vec{AC}$ より $y$ 軸側にあるため、$0 \le \beta < \alpha \le \frac{\pi}{2}$ である。 $\angle BAC = \theta$ より、$\alpha - \beta = \theta$、すなわち $\beta = \alpha - \theta$ が成り立つ。

面積 $S$ は、$\alpha$ を用いて次のように表せる。

$$ S = xy = b\cos\beta \cdot c\sin\alpha = bc \sin\alpha \cos(\alpha - \theta) $$

積和の公式を用いて変形する。

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} bc \{ \sin(\alpha + \alpha - \theta) + \sin(\alpha - (\alpha - \theta)) \} \\ &= \frac{1}{2} bc \{ \sin(2\alpha - \theta) + \sin\theta \} \end{aligned} $$

次に、変数 $\alpha$ のとりうる値の範囲を求める。点 $B$ が線分 $DE$ 上にある条件 $t \le x$ より、

$$ c\cos\alpha \le b\cos(\alpha - \theta) $$

点 $C$ が線分 $EF$ 上にある条件 $s \le y$ より、

$$ b\sin(\alpha - \theta) \le c\sin\alpha $$

ここで、$\triangle ABC$ に正弦定理と第一余弦定理を用いる。角 $A = \theta$ であり、正弦定理 $b\sin A = a\sin B$、$c\sin A = a\sin C$、および第一余弦定理 $c = a\cos B + b\cos A$、$b = a\cos C + c\cos A$ が成り立つ。 1つ目の不等式を変形する。

$$ \begin{aligned} c\cos\alpha &\le b(\cos\alpha\cos\theta + \sin\alpha\sin\theta) \\ (c - b\cos\theta)\cos\alpha &\le b\sin\theta\sin\alpha \\ (a\cos B)\cos\alpha &\le (a\sin B)\sin\alpha \end{aligned} $$

$\cos\alpha > 0$、$a\sin B > 0$ であるから、両辺を割って

$$ \tan\alpha \ge \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{1}{\tan B} = \tan\left(\frac{\pi}{2} - B\right) $$

よって、$\alpha \ge \frac{\pi}{2} - B$ を得る。同様に2つ目の不等式を変形する（$\alpha - \theta = \beta$ として $\beta$ で整理する）。

$$ \begin{aligned} b\sin\beta &\le c\sin(\beta + \theta) \\ b\sin\beta &\le c(\sin\beta\cos\theta + \cos\beta\sin\theta) \\ (b - c\cos\theta)\sin\beta &\le c\sin\theta\cos\beta \\ (a\cos C)\sin\beta &\le (a\sin C)\cos\beta \end{aligned} $$

$\triangle ABC$ は鋭角三角形であるから $C < \frac{\pi}{2}$ であり、$a\cos C > 0$。$\cos\beta > 0$ で割って

$$ \tan\beta \le \frac{\sin C}{\cos C} = \tan C $$

よって $\beta \le C$、すなわち $\alpha \le \theta + C = \pi - B$ を得る。

また、$\beta \ge 0$ より $\alpha \ge \theta$ であり、長方形の配置から $\alpha \le \frac{\pi}{2}$ である。以上をまとめると、$\alpha$ のとりうる範囲は

$$ \max\left(\theta, \frac{\pi}{2} - B\right) \le \alpha \le \min\left(\frac{\pi}{2}, \pi - B\right) $$

となる。 $\triangle ABC$ は鋭角三角形なので、$B < \frac{\pi}{2}$ より $\pi - B > \frac{\pi}{2}$。また、$C < \frac{\pi}{2}$ であり、$\theta + B + C = \pi$ より $\theta + B = \pi - C > \frac{\pi}{2}$、すなわち $\theta > \frac{\pi}{2} - B$ となる。したがって、$\alpha$ の定義域は以下のようにシンプルに定まる。

$$ \theta \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $$

この範囲において $S$ の最大値を考える。 $\theta \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$2\alpha - \theta$ のとりうる範囲は

$$ \theta \le 2\alpha - \theta \le \pi - \theta $$

$\triangle ABC$ は鋭角三角形であるため $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ であり、区間 $[\theta, \pi - \theta]$ の中には必ず $\frac{\pi}{2}$ が含まれる。したがって、$2\alpha - \theta = \frac{\pi}{2}$（すなわち $\alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}$）のとき、$\sin(2\alpha - \theta)$ は最大値 $1$ をとる。このとき、面積の最大値は

$$ S = \frac{1}{2} bc (1 + \sin\theta) $$

となる。

解説

図形の回転や配置を最適化する問題では、長方形の直交性を利用して一方の頂点を原点に置く座標設定が非常に有効である。線分上に頂点が乗るという幾何的条件を、座標の大小関係の不等式に帰着させ、さらに正弦定理・余弦定理を用いて角の条件に翻訳する流れが本問の核心である。

途中で現れる「$\triangle ABC$ が鋭角三角形」という条件は、関数 $S(\alpha)$ が最大値をとる $\alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}$ が、実際に長方形が構成できる定義域の中に存在することを保証する重要な役割を担っている。鈍角三角形の場合、この内点が定義域外に出てしまい、端点での値が最大値となる場合がある。